Sin(x)+cos(y)<=1 (disequazione a due variabili!)

[balestra_romani]

Non riesco a risolvere la disequaione $ sin(x)+cos(y)<=1 $, mi potete aiutare?
grazie

[StellaMartensitica]

Dove l'hai presa?

Comunque penso vada risolta per via grafica.
Di solito il testo completo prevede una formulazione di questo genere:

Determina l'insieme A, tale che:
$A={(x,y)inRR^2 | sin(x)+cos(y)<=1}$

Intanto proverei a fare un disegno delle soluzioni della equazione associata, pertanto si può provare a disegnare:
$sin(x)+cos(y)=1$

$cos(y)=1-sin(x)$

$y=+-arccos(1-sin(x))$

metto il $+-$ dato che, naturalmente, il codominio dell'arcocoseno sarebbe definito come $y in[0,pi]$

Successivamente trovi dapprima il dominio, pertanto:

$\{(1-sin(x)<=1),(1-sin(x)>=-1):}$
E risolvi.
Poi fai una derivata, intanto per la parte positiva, poi la parte negativa viene da se:
$y=+arccos(1-sin(x))$

$y'=-cos(x)/(sqrt(1-(1-sin(x))^2))$

Ti fai il consueto studio del segno,...
In sintesi si tratta di uno studio di funzione.
Per trovare, una volta fatto il grafico, la regione di piano che soddisfa la proprietà iniziale usi il metodo del punto di prova.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

È più facile di così, prova a moltiplicare per \( \frac{\sqrt{2}}{2} \), e prova a riscrivere quella diseguazione nella forma
\( \sin(\alpha) \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \) con \( \alpha \) che dipende da \( x \)

[mgrau]

Oppure:
formule di prostaferesi, tenendo conto che $cos(x) = sin(pi/2-x)$
$sin(x)+cos(x) = 2sin(pi/4)cos(x-pi/4) = sqrt(2)cos(x-pi/4)$

[balestra_romani]

"3m0o":È più facile di così, prova a moltiplicare per \( \frac{\sqrt{2}}{2} \), e prova a riscrivere quella diseguazione nella forma
\( \sin(\alpha) \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \) con \( \alpha \) che dipende da \( x \)

non ti seguo...

[axpgn]

Le variabili sono due ... forse ti conveniva scriverlo nel titolo ...

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Ops... ho letto \( \sin(x)+\cos(x) \) invece di \( \sin(x) + \cos(y) \).

[StellaMartensitica]

No ma guardate che c'è anche la $y$ di mezzo.
Non è una disequazione goniometrica elementare.

[balestra_romani]

E' una disequazione goniometrica a 2 variabili! State facendo confusone.
Io sono arrivato ad $ y = arccos(1-sin(x)) $ e poi non so come proseguire.
Ho provato ad utilizzare le classiche equazioni della goniometria ma non riesco a semplificarla.
Dovrebbero uscire un'infinità di cerchi...

[balestra_romani]

"axpgn":Le variabili sono due ... forse ti conveniva scriverlo nel titolo ...

fatto

[StellaMartensitica]

"balestra_romani":Dovrebbero uscire un'infinità di cerchi...

Si anch'io lo dato in pasto a Geogebra come prima cosa ma devi comunque tenere le restrizioni sul codominio dell'arcocoseno, cosa che geogebra non fa. Altrimenti non è più una funzione.
Ma dove hai trovato questo esercizio?
Di solito mettono una conica o sistemi di coniche???

[balestra_romani]

"SirDanielFortesque":Dove l'hai presa?

Comunque penso vada risolta per via grafica.
Di solito il testo completo prevede una formulazione di questo genere:

Determina l'insieme A, tale che:
$A={(x,y)inRR^2 | sin(x)+cos(y)<=1}$

Intanto proverei a fare un disegno delle soluzioni della equazione associata, pertanto si può provare a disegnare:
$sin(x)+cos(y)=1$

$cos(y)=1-sin(x)$

$y=+-arccos(1-sin(x))$

metto il $+-$ dato che, naturalmente, il codominio dell'arcocoseno sarebbe definito come $y in[0,pi]$

Successivamente trovi dapprima il dominio, pertanto:

$\{(1-sin(x)<=1),(1-sin(x)>=-1):}$
E risolvi.
Poi fai una derivata, intanto per la parte positiva, poi la parte negativa viene da se:
$y=+arccos(1-sin(x))$

$y'=-cos(x)/(sqrt(1-(1-sin(x))^2))$

Ti fai il consueto studio del segno,...
In sintesi si tratta di uno studio di funzione.
Per trovare, una volta fatto il grafico, la regione di piano che soddisfa la proprietà iniziale usi il metodo del punto di prova.

grazie mille, pensavo che fossero dei cerchi ma non lo erano affatto!
problema risolto!
bravissimo!

[StellaMartensitica]

Di solito gli esercizi sono più facili.