Simulazione Seconda Prova: soluzioni ed impressioni
Salve ieri (23/04/2015) è stata somministrata, ai licei scientifici aderenti, la simulazione ministeriale di seconda prova.
Organizzata nel seguente modo: scelta di 1 fra 2 problemi e di 5 tra 10 quesiti.
Lo stampo della prova si è confermato simile a quello della prima simulazione, in cui il problema è ripreso da una situazione pseudo-reale in cui andavano risolti problemi pratici tramite la modellizzazione matematica. La tipologia di quesiti è rimasta invariata rispetto agli altri anni.
In attesa dell'uscita della traccia sul sito del miur vi rimando a questa galleria click
Quesito 1
$ y=e^(x^3-8) $
Svolgo la derivata prima $ y'=e^(x^3-8)3x^2 $ Essendo l'esponenziale per definizione sempre maggiore di $0$ $f(x)$ sarà sempre crescente in tutto il suo dominio $R$ dunque monotona/biunivoca. Questo vuol dire che la posso invertire, tramite semplici passaggi si arriva a $ y=root(3)(lnx+8) $ . Il dominio della derivata sarà poi $(0;1/e^8) uu (1/e^8;+∞ ]$
Quesito 2
$y'=1/(2x-1)$
Semplice equazione differenziale, la riporto nella forma canonica $ dy=dx/(2x-1) $ poi integro entrambi i membri e arrivo a $ 1/2lnabs(2x-1)+c $. A questo punto per risolvere il problema di Chauchy sostituisco i valori assegnati $ 0=1/2ln1+c $ . Ovviamente queasta relazione è soddisfatta per $c=0$
Quesito 6
E' stato forse il quesito che mi ha dato più soddisfazione. Molto difficile da rappresentare correttamente la figura nello spazio tenterò di far capire il mio ragionamento
Osservando la figura si capisce che questo solido è fomato da tanti quadrati aventi per lato una corda del cerchio sempre minore partendo dal massimo, cioè il diametro, fino a 0. Dunque il volume sarà $ V=2 int_(0)^(6) x^2dx $. Svolgendo poi i conti veniva $V=144$
Quesito 8
$ intarcsenx+arccosx dx $
Non mi dilungo elencando tutti i passaggi. In generale conveniva spezzare l'integrale e poi risolvere i singoli pezzi con l'integrazione per parti. Il risultato è $ x(arcsenx+arccosx) $. E' possibile dimostrare che equivale a $y=pi/2x$ dunque il grafico è una retta passante per l'origine però con Dominio $[-1;1]$
Quesito 10
Vi rimando a quanto già scritto su di un altro topic viewtopic.php?f=11&t=146370
Tirando le somme i quesiti che realmente potevo svolgere, cioè quelli che riguardavano cose svolte in classe erano 4. Forse il quesito di calcolo combinatorio era fattibile ma non ero per niente certo della mia soluzione (Probabilità e calcolo combinatorio li ho affrontati autonomamente).
Per oggi mi fermo qui la prossima volta ci occuperemo del primo problema. Spero che questo mio intervento serva sia a chi si vuole confrontare sulla prova svolta sia a chi è interessato alla didattica svolta al liceo. Buon proseguimento
Organizzata nel seguente modo: scelta di 1 fra 2 problemi e di 5 tra 10 quesiti.
Lo stampo della prova si è confermato simile a quello della prima simulazione, in cui il problema è ripreso da una situazione pseudo-reale in cui andavano risolti problemi pratici tramite la modellizzazione matematica. La tipologia di quesiti è rimasta invariata rispetto agli altri anni.
In attesa dell'uscita della traccia sul sito del miur vi rimando a questa galleria click
Quesito 1
$ y=e^(x^3-8) $
Svolgo la derivata prima $ y'=e^(x^3-8)3x^2 $ Essendo l'esponenziale per definizione sempre maggiore di $0$ $f(x)$ sarà sempre crescente in tutto il suo dominio $R$ dunque monotona/biunivoca. Questo vuol dire che la posso invertire, tramite semplici passaggi si arriva a $ y=root(3)(lnx+8) $ . Il dominio della derivata sarà poi $(0;1/e^8) uu (1/e^8;+∞ ]$
Quesito 2
$y'=1/(2x-1)$
Semplice equazione differenziale, la riporto nella forma canonica $ dy=dx/(2x-1) $ poi integro entrambi i membri e arrivo a $ 1/2lnabs(2x-1)+c $. A questo punto per risolvere il problema di Chauchy sostituisco i valori assegnati $ 0=1/2ln1+c $ . Ovviamente queasta relazione è soddisfatta per $c=0$
Quesito 6
E' stato forse il quesito che mi ha dato più soddisfazione. Molto difficile da rappresentare correttamente la figura nello spazio tenterò di far capire il mio ragionamento
Osservando la figura si capisce che questo solido è fomato da tanti quadrati aventi per lato una corda del cerchio sempre minore partendo dal massimo, cioè il diametro, fino a 0. Dunque il volume sarà $ V=2 int_(0)^(6) x^2dx $. Svolgendo poi i conti veniva $V=144$
Quesito 8
$ intarcsenx+arccosx dx $
Non mi dilungo elencando tutti i passaggi. In generale conveniva spezzare l'integrale e poi risolvere i singoli pezzi con l'integrazione per parti. Il risultato è $ x(arcsenx+arccosx) $. E' possibile dimostrare che equivale a $y=pi/2x$ dunque il grafico è una retta passante per l'origine però con Dominio $[-1;1]$
Quesito 10
Vi rimando a quanto già scritto su di un altro topic viewtopic.php?f=11&t=146370
Tirando le somme i quesiti che realmente potevo svolgere, cioè quelli che riguardavano cose svolte in classe erano 4. Forse il quesito di calcolo combinatorio era fattibile ma non ero per niente certo della mia soluzione (Probabilità e calcolo combinatorio li ho affrontati autonomamente).
Per oggi mi fermo qui la prossima volta ci occuperemo del primo problema. Spero che questo mio intervento serva sia a chi si vuole confrontare sulla prova svolta sia a chi è interessato alla didattica svolta al liceo. Buon proseguimento
Risposte
grazie xAle!
Vedremo quando uscirà la traccia completa... certo che questa impostazione pseudo-reale continua a non piacermi proprio...
Vedremo quando uscirà la traccia completa... certo che questa impostazione pseudo-reale continua a non piacermi proprio...
Io i quesiti li ho svolti tutti, a parte quello della probabilità citato da me nell'altro topic, in particolare quelli che hai risolto te li ho risolti in modo diverso:
Quesito 1) Senza fare l'inversa della funzione, si sa che se $x=f(y)$ è la funzione inversa allora $f'(y_0)=1/(f'(x_0))$, dunque poiché $f'(x)$ si annulla in $x=0$ allora $f'(y)$ non esiste in $y=f(0)=e^(-8)$
Quesito 6) In pratica ti dice che ogni sezione del solido perpendicolare all'asse x è un quadrato, dunque detta $x$ la distanza di una sezione dall'origine, l'area della sezione sarà $4(9-x^2)$, e integrando questa sezione da $x=-3$ a $x=3$ si ottiene $V=144$
Quesito 8) In pratica non serviva svolgere l'integrale, bastava notare che $arcsin(x)+arccos(x)=pi/2$ per ogni $x$ appartenente a $(-1,1)$ quindi l'integrale diventava: $ int pi/2 dx = (pi/2)x+c$
Quesito 1) Senza fare l'inversa della funzione, si sa che se $x=f(y)$ è la funzione inversa allora $f'(y_0)=1/(f'(x_0))$, dunque poiché $f'(x)$ si annulla in $x=0$ allora $f'(y)$ non esiste in $y=f(0)=e^(-8)$
Quesito 6) In pratica ti dice che ogni sezione del solido perpendicolare all'asse x è un quadrato, dunque detta $x$ la distanza di una sezione dall'origine, l'area della sezione sarà $4(9-x^2)$, e integrando questa sezione da $x=-3$ a $x=3$ si ottiene $V=144$
Quesito 8) In pratica non serviva svolgere l'integrale, bastava notare che $arcsin(x)+arccos(x)=pi/2$ per ogni $x$ appartenente a $(-1,1)$ quindi l'integrale diventava: $ int pi/2 dx = (pi/2)x+c$
"Vulplasir":
Quesito 8) In pratica non serviva svolgere l'integrale, bastava notare che $arcsin(x)+arccos(x)=pi/2$ per ogni $x$ appartenente a $(-1,1)$
Si è vero! Non ci avevo mai pensato...
Come dimostrazione andrebbe bene questa?
Se $y=arcsin x + arccos x$ abbiamo derivando
$y' = 1/(sqrt(1-x^2)) - 1/(sqrt(1-x^2)) =0$
quindi la funzione è costante!
Allora troviamo il valore di $y$ per una $x$ qualsiasi, ad esempio $x=0$
$arcsin(0)=0$
$arccos(0)=pi/2$
quindi $y=pi/2$ definita ovviamente nel dominio (-1,+1)
ciao ragazzi e grazie a entrambi per questa bella novità (per me)
Grazie per la condivisione delle tue risposte
Mi complimento per il quesito 1 perchè è sicuramente un approccio più diretto del problema. Per quanto riguarda il 6 è lo stesso procedimento usato da molti miei compagni che lo hanno risolto, non so se il mio approccio può essere definito più approssimativo (anche se alla fine il risultato è quello). L'8 si commenta da solo, una svista enorme. Potevo sfruttare sin da subito l'uguaglianza a $pi/2$
Sono invece curioso di sapere, a che punto sei del programma? Sono rimasto molto amareggiato dal fatto di non poter svolgere alcuni quesiti non perchè fossero veramente troppo impegnativi ma a causa di una preparazione inesistente. Per esempio sull'integrale improprio (non presente sul mio libro di testo) avevo un'idea generale, anche giusta, che non ho avuto il coraggio di portare avanti... Il quesito di probabilità si commenta da solo, non so se vogliano delle persone in grado di ragionare oppure degli automi in grado di ricordare $n$ formule e poi scegliere quella che sembra più adatta...
Edit:
Ho visto ora la risposta di Mazzarri, io l'ho dimostrato esattamente come te. Buona serata
Mi complimento per il quesito 1 perchè è sicuramente un approccio più diretto del problema. Per quanto riguarda il 6 è lo stesso procedimento usato da molti miei compagni che lo hanno risolto, non so se il mio approccio può essere definito più approssimativo (anche se alla fine il risultato è quello). L'8 si commenta da solo, una svista enorme. Potevo sfruttare sin da subito l'uguaglianza a $pi/2$
Sono invece curioso di sapere, a che punto sei del programma? Sono rimasto molto amareggiato dal fatto di non poter svolgere alcuni quesiti non perchè fossero veramente troppo impegnativi ma a causa di una preparazione inesistente. Per esempio sull'integrale improprio (non presente sul mio libro di testo) avevo un'idea generale, anche giusta, che non ho avuto il coraggio di portare avanti... Il quesito di probabilità si commenta da solo, non so se vogliano delle persone in grado di ragionare oppure degli automi in grado di ricordare $n$ formule e poi scegliere quella che sembra più adatta...
Edit:
Ho visto ora la risposta di Mazzarri, io l'ho dimostrato esattamente come te. Buona serata
Adesso sono curioso di vedere il testo intero!!
Come dimostrazione andrebbe bene questa?
Se $y=arcsinx+arccosx$ abbiamo derivando
$y'=1/sqrt(1-x^2)-1/sqrt(1-x^2)=0$
Penso di si, io ho sfruttato la relazione $cos(x)=sin(pi/2-x)$ e da qui passando agli archi la tesi è ovvia.
@xAle Noi quando si è fatta la simulazione s'erano appena cominciate le equazioni differenziali, se avessero messo qualche eq. differenziale più difficile probabilmente non l'avrei saputa fare, ma la prima era praticamente un integrale e nella seconda bastava sostituire le derivate prime e seconde della funzione data nelle risposte e vedere quale risultava uguale a 0. Molto strano che nel tuo libro non ci siano gli integrali impropri. Inoltre quell'esercizio sulla serie l'ho saputo fare perché avevo dato un'occhiata così per diletto al capitolo sulle serie perché chiaramente non è in programma.
"mazzarri":
Adesso sono curioso di vedere il testo intero!!
Qui è l'unico posto in cui ho trovato il file, io ne ho solo una copia in cartaceo.
"mazzarri":
Adesso sono curioso di vedere il testo intero!!
Vai a questo indirizzo
http://media2.corriere.it/corriere/pdf/ ... e-2015.pdf
http://dida.orizzontescuola.it/sites/de ... ressed.pdf
Qui trovi le soluzioni. Il quesito $1$ è banalmente errato, : "$y=root(3)(ln(x) +8)$ rappresenta la potenza razionale di una somma di funzioni continue e derivabili in $(0,+oo)$ e pertanto è derivabile in $(0,+oo)$" Mai sentita cosa più errata. Quindi secondo lui $y=sqrt(x)$ essendo la potenza razionale di una funzione continua e derivabile in $[0,+oo[$ è derivabile in $[0,+oo[$?
Il quesito 7 si risolveva facilmente con il cosiddetto "metodo dello sdoppiamento" , se la superficie sferica è $x^2+y^2+z^2-r^2=0$, il piano tangente a essa nel punto $(x_0,y_0, z_0)$ ha equazione: $x*x_0+y*y_0+z*z_0-r^2=0$
Pure il quesito 8 è sbagliato, la retta $y=(pi/2)x+1$ è definita solo in $[-1,1]$
Propongono quesiti che neanche loro sanno risolvere.
Qui trovi le soluzioni. Il quesito $1$ è banalmente errato, : "$y=root(3)(ln(x) +8)$ rappresenta la potenza razionale di una somma di funzioni continue e derivabili in $(0,+oo)$ e pertanto è derivabile in $(0,+oo)$" Mai sentita cosa più errata. Quindi secondo lui $y=sqrt(x)$ essendo la potenza razionale di una funzione continua e derivabile in $[0,+oo[$ è derivabile in $[0,+oo[$?
Il quesito 7 si risolveva facilmente con il cosiddetto "metodo dello sdoppiamento" , se la superficie sferica è $x^2+y^2+z^2-r^2=0$, il piano tangente a essa nel punto $(x_0,y_0, z_0)$ ha equazione: $x*x_0+y*y_0+z*z_0-r^2=0$
Pure il quesito 8 è sbagliato, la retta $y=(pi/2)x+1$ è definita solo in $[-1,1]$
Propongono quesiti che neanche loro sanno risolvere.
Ma le equazioni differenziali sono programma di liceo scientifico? Solo quelle a variabili separabili o anche altre? E le serie? Anche la combinatoria? E la statistica??? A parte il PNI non ricordo che per uno scientifico di ordinamento siamo mai uscite domande su questi argomenti... forse una volta c'è stato un "problema di Cauchy" ma è stata una rarità...
Quella di quest'anno è la prima quinta della riforma gelmini, ovvero la prima quinta che nel corso dei 5 anni ha avuto le ore di matematica così distribuite 5 - 5 - 4 - 4 - 4 e fisica sin dal biennio 2 - 2 - 3 - 3 - 3.
La prima quinta in cui non ci sono più i "programmi ministeriali" ma le Indicazioni Nazionali, nelle quali c'è di tutto e di più, ma in modo molto vago.
In pratica la prima quinta in cui il programma è praticamente quello del PNI, ma con studenti non tutti motivati e, soprattutto, con un'ora in meno al triennio rispetto a quelle del PNI.
La prima delle quinte in cui, all'esame di stato, non sarà più automatico che il secondo scritto sia matematica, ma potrebbe essere anche fisica o, nell'opzione Scienze Applicate, anche scienze.
Benvenuto nella scuola della riforma.
La prima quinta in cui non ci sono più i "programmi ministeriali" ma le Indicazioni Nazionali, nelle quali c'è di tutto e di più, ma in modo molto vago.
In pratica la prima quinta in cui il programma è praticamente quello del PNI, ma con studenti non tutti motivati e, soprattutto, con un'ora in meno al triennio rispetto a quelle del PNI.
La prima delle quinte in cui, all'esame di stato, non sarà più automatico che il secondo scritto sia matematica, ma potrebbe essere anche fisica o, nell'opzione Scienze Applicate, anche scienze.
Benvenuto nella scuola della riforma.
gasp
Ho provato a risolvere i due "problemi"... mi sono trovato malissimo... uno è abituato a leggere un problema di matematica impostato in un certo modo "data la funzione... " qui bisogna prima capire che cosa si sta dicendo, poi tradurre l'italiano in linguaggio matematico... e non si è ancora sicuri di aver capito bene...
Si imposta il problema e si ha a che fare con "numeri grandi" cosa che di solito non succede, si ha l'impressione costante di aver sbagliato qualcosa
Un altro motivo di disagio è che solitamente si portano avanti i calcoli e si arriva alla fine con un risultato, per esempio, di $5 pi$... qui invece si ottiene $1300 pi$ e con la calcolatrice bisogna calcolarlo... questa non è matematica... è scienze applicate o qualcosa del genere... qui si snatura la materia!
Si imposta il problema e si ha a che fare con "numeri grandi" cosa che di solito non succede, si ha l'impressione costante di aver sbagliato qualcosa
Un altro motivo di disagio è che solitamente si portano avanti i calcoli e si arriva alla fine con un risultato, per esempio, di $5 pi$... qui invece si ottiene $1300 pi$ e con la calcolatrice bisogna calcolarlo... questa non è matematica... è scienze applicate o qualcosa del genere... qui si snatura la materia!
"Vulplasir":
http://dida.orizzontescuola.it/sites/default/files/matematica2-soluzioni-2.compressed.pdf
Qui trovi le soluzioni. Il quesito $1$ è banalmente errato, : "$y=root(3)(ln(x) +8)$ rappresenta la potenza razionale di una somma di funzioni continue e derivabili in $(0,+oo)$ e pertanto è derivabile in $(0,+oo)$" Mai sentita cosa più errata. Quindi secondo lui $y=sqrt(x)$ essendo la potenza razionale di una funzione continua e derivabile in $[0,+oo[$ è derivabile in $[0,+oo[$?
Propongono quesiti che neanche loro sanno risolvere.
Si, è proprio sbagliato... la funzione in $x=e^(-8)$ non è derivabile, anzi c'è una bella cuspide
so che svierò la discussione, nel caso splittiamo
mi domando: qual è il motivo per cui i giovani sono obbligati fino alla maggiore età (qualsiasi liceo/istituto scelgano) a studiare matematica?
mi rispondo: hanno bisogno di imparare un metodo rigoroso, hanno bisogno di abituarsi a ragionare secondo uno schema logico. E' necessario che imparino ad argomentare in maniera coerente: non basta mettere insieme affermazioni corrette, esse devono essere pertinenti a quanto si vuole dimostrare.
Nelle indicazioni per la scuola media si trova questa frase nei traguardi di competenza, qui pagina 49
Sostiene le proprie convinzioni, portando esempi e controesempi adeguati e utilizzando concatenazioni di affermazioni, accetta di cambiare opinione riconoscendo le conseguenze logiche di una argomentazione corretta
Questo è utile anche se non diventeranno ingegneri, architetti o economisti ...
La necessità di contestualizzare sempre con una applicazione concreta che spieghi perché è utile la matematica non mi piace granché. A mio avviso il motivo principale per cui è necessario studiare matematica è quello che ho esposto prima.
mi domando: qual è il motivo per cui i giovani sono obbligati fino alla maggiore età (qualsiasi liceo/istituto scelgano) a studiare matematica?
mi rispondo: hanno bisogno di imparare un metodo rigoroso, hanno bisogno di abituarsi a ragionare secondo uno schema logico. E' necessario che imparino ad argomentare in maniera coerente: non basta mettere insieme affermazioni corrette, esse devono essere pertinenti a quanto si vuole dimostrare.
Nelle indicazioni per la scuola media si trova questa frase nei traguardi di competenza, qui pagina 49
Sostiene le proprie convinzioni, portando esempi e controesempi adeguati e utilizzando concatenazioni di affermazioni, accetta di cambiare opinione riconoscendo le conseguenze logiche di una argomentazione corretta
Questo è utile anche se non diventeranno ingegneri, architetti o economisti ...
La necessità di contestualizzare sempre con una applicazione concreta che spieghi perché è utile la matematica non mi piace granché. A mio avviso il motivo principale per cui è necessario studiare matematica è quello che ho esposto prima.
Sarò sincero... ho fatto tutto tranne 3 quesiti che non avrei saputo risolvere...
quello di statistica (il 10) materia che non vedevo più da 30 anni
quello di combinatoria (il 5), mea culpa, non mi mai è piaciuto questo argomento e non lo mastico
quello sulla serie convergenmte, il 4... anche qui sono 30 anni che non vedo questi problemi
mi resta un senso di disagio diffuso... ho fatto i primi 2 problemi ma ero in continuo dubbio di non aver capito bene o di aver schiacciato male i tasti della calcolatrice che solitamente uso molto poco... numeri grandi, sensazione costante di aver sbagliato. Non mi sono piaciuti ma è la mia opinione, non mi sembra matematica questa. Ma forse sono vecchio il problema è mio...
per i 3 problemi non risolti davo per scontato che la statistica, la combinatoria e le serie non fossero "in programma" per uno scientifico di ordinamento ma adesso mi aggiornerò. Mi resta il dubbio di come faranno i ragazzi a portare un programma mastodontico che equivale ormai a una analisi1 universitaria più un pezzo di analisi2... per esempio una equazione differenziale e un integrale improprio... si io li ho risolti in un attimo, ma un ragazzo di quinta liceo??
quello di statistica (il 10) materia che non vedevo più da 30 anni
quello di combinatoria (il 5), mea culpa, non mi mai è piaciuto questo argomento e non lo mastico
quello sulla serie convergenmte, il 4... anche qui sono 30 anni che non vedo questi problemi
mi resta un senso di disagio diffuso... ho fatto i primi 2 problemi ma ero in continuo dubbio di non aver capito bene o di aver schiacciato male i tasti della calcolatrice che solitamente uso molto poco... numeri grandi, sensazione costante di aver sbagliato. Non mi sono piaciuti ma è la mia opinione, non mi sembra matematica questa. Ma forse sono vecchio il problema è mio...
per i 3 problemi non risolti davo per scontato che la statistica, la combinatoria e le serie non fossero "in programma" per uno scientifico di ordinamento ma adesso mi aggiornerò. Mi resta il dubbio di come faranno i ragazzi a portare un programma mastodontico che equivale ormai a una analisi1 universitaria più un pezzo di analisi2... per esempio una equazione differenziale e un integrale improprio... si io li ho risolti in un attimo, ma un ragazzo di quinta liceo??
@Vulpasir @mazzarri
Leggendo quelle soluzioni non sapevo se ridere o piangere. Molto approssimative... Vorrei anche far notare la difficoltà di riuscire bene a capire dai problemi le richieste. Per esempio nel problema 1 bisognava fare attenzione. Non solo le parti numerate andavano giustificate ma anche alcune affermazioni del testo.
Per quanto riguarda i programmi ripeto quello che penso da molti anni. Pretendono, non solo in matematica, di affrontare argomenti complessi con una base relativamente solida. Non si può fare tutto al liceo e non puoi nemmeno pretendere di essere bravo in tutti i campi proposti: dalla probabilità al calcolo combinatorio alla geometria nello spazio alle equazioni differenziali ecc. Purtroppo bisogna mettersi l'anima in pace e capire che non potrai mai saper fare tutti i quesiti ma dovrai scegliere fra quelli che sai fare aumentando il rischio di errore. Sono molto preoccupato per l'imprevidibilità di questa prova... A breve comunque, non mi sono scordato, aggiungero la mia soluzione al problema 1. (Spero di fare meglio del ministero
)
Leggendo quelle soluzioni non sapevo se ridere o piangere. Molto approssimative... Vorrei anche far notare la difficoltà di riuscire bene a capire dai problemi le richieste. Per esempio nel problema 1 bisognava fare attenzione. Non solo le parti numerate andavano giustificate ma anche alcune affermazioni del testo.
Per quanto riguarda i programmi ripeto quello che penso da molti anni. Pretendono, non solo in matematica, di affrontare argomenti complessi con una base relativamente solida. Non si può fare tutto al liceo e non puoi nemmeno pretendere di essere bravo in tutti i campi proposti: dalla probabilità al calcolo combinatorio alla geometria nello spazio alle equazioni differenziali ecc. Purtroppo bisogna mettersi l'anima in pace e capire che non potrai mai saper fare tutti i quesiti ma dovrai scegliere fra quelli che sai fare aumentando il rischio di errore. Sono molto preoccupato per l'imprevidibilità di questa prova... A breve comunque, non mi sono scordato, aggiungero la mia soluzione al problema 1. (Spero di fare meglio del ministero
)
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