Simulazione quesiti di matematica
QUESITI
1. Determinare i valori di $a$ e $b$ in modo che la funzione $g:RR-{3}→RR$
$g(x)={(3-ax^2 \ \ per \ \ x≤1), (b/(x-3) \ \ per \ \ x>1):}$
sia derivabile in tutto il suo dominio. Tracciare i grafici delle funzioni $g$ e $g'$.
2. Sia R la regione piana compresa tra l'asse x e la curva di equazione $y=2e^(1-|x|)$. Provare che, tra i rettangoli inscritti in R e aventi un lato sull'asse x, quello di area massima ha perimetro minimo ed è un quadrato.
3. Una scatola contiene 16 palline numerate da 1 a 16.
Se ne estraggono 3, una alla volta, rimettendo ogni volta nella scatola la pallina estratta. Qual è la probabilità che il primo numero estratto sia 10 e gli altri due minori di 10?
Se ne estraggono 5 contemporaneamente. Qual è la probabilità che il più grande dei numeri estratti sia uguale a 13?
4. Scrivere, giustificando la scelta effettuata, una funzione razionale y=(s(x))/(t(x)) , dove s(x) e t(x) sono polinomi, tale che il grafico della funzione:
- incontri l'asse x nei punti di ascissa -1 e 2 e sia ad esso tangente in quest'ultimo punto;
- abbia asintoti verticali di equazioni $x=-3$ e $x=1$;
- passi per il punto $P(7,10)$.
Rappresentare, qualitativamente, il grafico della funzione trovata.
5. Si consideri la superficie sferica S di equazione $x^2+y^2+z^2-2x+6z=0$.
Dopo aver determinato le coordinate del centro e la misura del raggio, verificare che il piano $pi$ di equazione $3x-2y+6z+1=0$ e la superficie S sono secanti.
Determinare il raggio della circonferenza ottenuta intersecando $pi$ e S.
1. Determinare i valori di $a$ e $b$ in modo che la funzione $g:RR-{3}→RR$
$g(x)={(3-ax^2 \ \ per \ \ x≤1), (b/(x-3) \ \ per \ \ x>1):}$
sia derivabile in tutto il suo dominio. Tracciare i grafici delle funzioni $g$ e $g'$.
2. Sia R la regione piana compresa tra l'asse x e la curva di equazione $y=2e^(1-|x|)$. Provare che, tra i rettangoli inscritti in R e aventi un lato sull'asse x, quello di area massima ha perimetro minimo ed è un quadrato.
3. Una scatola contiene 16 palline numerate da 1 a 16.
Se ne estraggono 3, una alla volta, rimettendo ogni volta nella scatola la pallina estratta. Qual è la probabilità che il primo numero estratto sia 10 e gli altri due minori di 10?
Se ne estraggono 5 contemporaneamente. Qual è la probabilità che il più grande dei numeri estratti sia uguale a 13?
4. Scrivere, giustificando la scelta effettuata, una funzione razionale y=(s(x))/(t(x)) , dove s(x) e t(x) sono polinomi, tale che il grafico della funzione:
- incontri l'asse x nei punti di ascissa -1 e 2 e sia ad esso tangente in quest'ultimo punto;
- abbia asintoti verticali di equazioni $x=-3$ e $x=1$;
- passi per il punto $P(7,10)$.
Rappresentare, qualitativamente, il grafico della funzione trovata.
5. Si consideri la superficie sferica S di equazione $x^2+y^2+z^2-2x+6z=0$.
Dopo aver determinato le coordinate del centro e la misura del raggio, verificare che il piano $pi$ di equazione $3x-2y+6z+1=0$ e la superficie S sono secanti.
Determinare il raggio della circonferenza ottenuta intersecando $pi$ e S.
Risposte
Nella regione \(\displaystyle \mathcal{R} \), i rettangoli inscritti hanno area: \(\displaystyle A(x)=2(xy) = 2x(2e^{1-|x|})=4xe^{1-|x|} \).
L'area quindi è massima quando l'equazione dell'area ha il valore massimo.
La derivata della funzione area è: \(\displaystyle A'(x)=4e^{1-|x|}+4xe^{1-|x|}(-\frac{|x|}{x})=4e^{1-|x|}(1-|x|)\).
Studiamone ora il segno: \(\displaystyle A'(x)>0 \Rightarrow x>0 \wedge |x|<1 \Rightarrow -1
Analogamente si esegue il ragionamento con il perimetro. La funzione perimetro \(\displaystyle P(x)=2(2x +y)=4x+4e^{1-|x|}\) è minima nel suo punto di minimo. \(\displaystyle min\{P(x)\}=8 \) con \(\displaystyle x=1 \); quindi il lato di base sarà 2, e l'altezza \(\displaystyle 2e^{1-|1|}=2 \).
C.V.D.
L'area quindi è massima quando l'equazione dell'area ha il valore massimo.
La derivata della funzione area è: \(\displaystyle A'(x)=4e^{1-|x|}+4xe^{1-|x|}(-\frac{|x|}{x})=4e^{1-|x|}(1-|x|)\).
Studiamone ora il segno: \(\displaystyle A'(x)>0 \Rightarrow x>0 \wedge |x|<1 \Rightarrow -1
Analogamente si esegue il ragionamento con il perimetro. La funzione perimetro \(\displaystyle P(x)=2(2x +y)=4x+4e^{1-|x|}\) è minima nel suo punto di minimo. \(\displaystyle min\{P(x)\}=8 \) con \(\displaystyle x=1 \); quindi il lato di base sarà 2, e l'altezza \(\displaystyle 2e^{1-|1|}=2 \).
C.V.D.
1. Estrandone 3, una alla volta, e rimettendo le palline nella scatola dopo ogni estrazione, la probabilità di pescare un 10 è \(\displaystyle \mathcal{P_1}=\frac{1}{16} \), poiché un solo 10 è contenuto nella scatola; la probabilità di pescare una pallina con numero minore di 10 è \(\displaystyle \mathcal{P_2}=\mathcal{P_3}=\frac{9}{16} \).
La probabilità totale di questo evento è dunque: \(\displaystyle \mathcal{P}=\frac{1}{16} \cdot \frac{9}{16} \cdot \frac{9}{16}=\frac{81}{16^3}\)
2. La probabilità di estrarre il numero 13 è \(\displaystyle \mathcal{P_1}=\frac{1}{16} \), e di pescarne le altre 4 minori di 13 è \(\displaystyle \mathcal{P_2}=\frac{12}{15} \cdot \frac{11}{14} \cdot \frac{10}{13} \cdot \frac{9}{12}\); siccome le estraggo contemporaneamente, posso avere 5 casi diversi per questa probabilità. La probabilità totale sarà dunque: \(\displaystyle \mathcal{P_1} \cdot \mathcal{P_2} \cdot 5 = \frac{165}{1456} \)
La probabilità totale di questo evento è dunque: \(\displaystyle \mathcal{P}=\frac{1}{16} \cdot \frac{9}{16} \cdot \frac{9}{16}=\frac{81}{16^3}\)
2. La probabilità di estrarre il numero 13 è \(\displaystyle \mathcal{P_1}=\frac{1}{16} \), e di pescarne le altre 4 minori di 13 è \(\displaystyle \mathcal{P_2}=\frac{12}{15} \cdot \frac{11}{14} \cdot \frac{10}{13} \cdot \frac{9}{12}\); siccome le estraggo contemporaneamente, posso avere 5 casi diversi per questa probabilità. La probabilità totale sarà dunque: \(\displaystyle \mathcal{P_1} \cdot \mathcal{P_2} \cdot 5 = \frac{165}{1456} \)
Quesito n.5 (la sfera):
La generica superficie sferica di centro $\Omega-=(\alpha, \beta, \gamma)$ e raggio $R$ ha equazione:
$x^2+y^2+z^2-2\alphax-2\betay-2\gammaz+c=0$
con $c=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-R^2$
peraltro in perfetta analogia con le formule già introdotte all'allievo quando ha studiato la circonferenza.
Dunque in questo caso risulta immediato trovare le coordinate del centro, potendo riscrivere l'equazione di $S$ nella maniera seguente:
$(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2+(z-\gamma)^2=R^2$
$(x-1)^2+y^2+(z+3)^2=10$
$\Omega-=(1,0,-3)$
$R=sqrt(10)$
Dato il generico piano $pi: ax+by+cz+d=0$
Il piano è secante quando si abbia:
$\rho(\pi,\Omega)
Come del resto in questo caso si verifica applicando la nota formula, infatti:
$\rho(\pi, \Omega)=|a*x_\Omega+b*y_\Omega+c*z_\Omega+d|/sqrt(a^2+b^2+c^2)=|3*1-2*0+6*(-3)+1|/sqrt(9+4+36)=2$
Dalla geometria della scuola media (teorema di Pitagora), si può infine calcolare il raggio $r$ della circonferenza ottenuta dall'intersezione $Snnpi$:
$r=sqrt(10-4)=sqrt(6)$
La generica superficie sferica di centro $\Omega-=(\alpha, \beta, \gamma)$ e raggio $R$ ha equazione:
$x^2+y^2+z^2-2\alphax-2\betay-2\gammaz+c=0$
con $c=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-R^2$
peraltro in perfetta analogia con le formule già introdotte all'allievo quando ha studiato la circonferenza.
Dunque in questo caso risulta immediato trovare le coordinate del centro, potendo riscrivere l'equazione di $S$ nella maniera seguente:
$(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2+(z-\gamma)^2=R^2$
$(x-1)^2+y^2+(z+3)^2=10$
$\Omega-=(1,0,-3)$
$R=sqrt(10)$
Dato il generico piano $pi: ax+by+cz+d=0$
Il piano è secante quando si abbia:
$\rho(\pi,\Omega)
Come del resto in questo caso si verifica applicando la nota formula, infatti:
$\rho(\pi, \Omega)=|a*x_\Omega+b*y_\Omega+c*z_\Omega+d|/sqrt(a^2+b^2+c^2)=|3*1-2*0+6*(-3)+1|/sqrt(9+4+36)=2$
Dalla geometria della scuola media (teorema di Pitagora), si può infine calcolare il raggio $r$ della circonferenza ottenuta dall'intersezione $Snnpi$:
$r=sqrt(10-4)=sqrt(6)$
Quesito n. 3 Il problema di urna.
Nel primo caso l'ordine conta in quanto le palline vengono estratte consecutivamente. Quindi la probabilità di estrarre il $10$ è $1/16$.
la probabilità di estrarre un numero strettamente minore di $10$ è $9/16$, quindi la probabilità cercata è:
$p=1/16 * 9/16 *9/16*3 =243/4096$
Per quanto riguarda la seconda parte del quesito si nota che non conta l'ordine di estrazione in quanto le palline vengono estratte cotemporaneamente, quindi:
$p=(((12),(4)))/(((16),(5)))=165/1456$
Spero di non aver fatto errori con i calcoli. Dove si possono reperire le soluzioni eventualmente?
Nel primo caso l'ordine conta in quanto le palline vengono estratte consecutivamente. Quindi la probabilità di estrarre il $10$ è $1/16$.
la probabilità di estrarre un numero strettamente minore di $10$ è $9/16$, quindi la probabilità cercata è:
$p=1/16 * 9/16 *9/16*3 =243/4096$
Per quanto riguarda la seconda parte del quesito si nota che non conta l'ordine di estrazione in quanto le palline vengono estratte cotemporaneamente, quindi:
$p=(((12),(4)))/(((16),(5)))=165/1456$
Spero di non aver fatto errori con i calcoli. Dove si possono reperire le soluzioni eventualmente?
Per la probabilità io ho ragionato cosî: di tutti i possibili sottoinsiemi di \(\Omega:=\{1,...,16\}\) di \(5\) elementi, considero quelli di \(5\) elementi con numeri estratti minori o uguali a 13. Quindi la propabilità non sarebbe\[\frac{\binom{13}{5}}{\binom{16}{5}}, ?\]
Anch'io l'avevo pensata ma il 13 sai già che è uscito e devi sceglierne 4 dal gruppo di 12 palline che sono minori di 13. Altrimenti da quelle tredici potresti estrarne 5 che non contengono il n. 13.
@Aleph ieri sera non c'erano le tue risposte. Per quello ti ho "scritto sopra". Adesso sono uscite.
@Aleph ieri sera non c'erano le tue risposte. Per quello ti ho "scritto sopra". Adesso sono uscite.
Quesito 4
"Aleph_0":
Nella regione \(\displaystyle \mathcal{R} \), i rettangoli inscritti hanno area: \(\displaystyle A(x)=2(xy) = 2x(2e^{1-|x|})=4xe^{1-|x|} \).
Manca la condizione fondamentale che l'area è espressa in questo modo solo se $x>=0$, altrimenti sarebbe $A(x)=4|x|e^{1-|x|}$
Il problema si può semplificare, data la simmetria pari della funzione, al solo caso in cui $x>=0$, semplificando, così, anche il calcoli successivi e la forma della funzione che diventa più blandamente $A(x)=4xe^{1-x}$
"SirDanielFortesque":
Quesito n. 3 Il problema di urna.
Nel primo caso l'ordine conta in quanto le palline vengono estratte consecutivamente. Quindi la probabilità di estrarre il $10$ è $1/16$.
la probabilità di estrarre un numero strettamente minore di $10$ è $9/16$, quindi la probabilità cercata è:
$p=1/16 * 9/16 *9/16*3 =243/4096$
Non sono d'accordo sulla presenza del fattore 3 nel prodotto in quanto il testo dice esplicitamente che il primo estratto è il 10.
Già. Il 10 può stare solo in prima posizione. Quindi il tre non ci deve essere.
3. Una scatola contiene 16 palline numerate da 1 a 16.
Se ne estraggono 5 contemporaneamente. Qual è la probabilità che il più grande dei numeri estratti sia uguale a 13?
"SirDanielFortesque":
Anch'io l'avevo pensata ma il 13 sai già che è uscito
La tua soluzione è giustissima ma la spiegazione che ho citato no. Non ti dice "dato che è uscito 13"
Per risolverlo correttamente (utilizzando la ipergeometrica) la soluzione è questa
$(((1),(1))((12),(4))((3),(0)))/(((16),(5)))$
che è esattamente ciò che hai scritto tu qui
Si mi ero espresso un po' male. Quello che volevo dire era che usare $((13),(5))$ al numeratore non è corretto in quanto vengono incluse delle cinquine che non devono essere considerate nel conteggio.
Al massimo il calcolo potrebbe essere, in questo caso e per semplice differenza:
$(((13),(5))-((12),(5)))/(((16),(5)))$
Al massimo il calcolo potrebbe essere, in questo caso e per semplice differenza:
$(((13),(5))-((12),(5)))/(((16),(5)))$
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