Simpatiche relazioni
Siano a,b,c i lati di un triangolo e P un punto interno a quest'ultimo.
Dette x,y,z le distanze di P dalle rette dei lati a,b,c rispettivamente,
dimostrare che si ha:
a) $x/(h_a)+y/(h_b)+z/(h_c)=1$
b) $1/r=1/(h_a)+1/(h_b)+1/(h_c)$
dove $h_a,h_b,h_c$ sono le altezze relative ai medesimi lati ed r il raggio
della circonferenza inscritta nel triangolo.
Facoltativamente stabilire come si modifica la relazione (a) quando P si sceglie
esterno al triangolo.
karl
Dette x,y,z le distanze di P dalle rette dei lati a,b,c rispettivamente,
dimostrare che si ha:
a) $x/(h_a)+y/(h_b)+z/(h_c)=1$
b) $1/r=1/(h_a)+1/(h_b)+1/(h_c)$
dove $h_a,h_b,h_c$ sono le altezze relative ai medesimi lati ed r il raggio
della circonferenza inscritta nel triangolo.
Facoltativamente stabilire come si modifica la relazione (a) quando P si sceglie
esterno al triangolo.
karl
Risposte
Comincio dalla relazione (b), che è la prima che ho risolto.
La circonferenza inscritta ha centro $C$ nell'intersezione delle bisettrici (incentro) e la distanza di $C$ da ciascun lato del triangolo è appunto il suo raggio $r$. Congiungendo ciascuno dei vertici con $C$, il triangolo viene suddiviso in 3 triangolini ciascuno dei quali ha per base uno dei lati del triangolo di partenza e come terzo vertice $C$ stesso. Di conseguenza il raggio $r$ è l'altezza di ciascuno di questi triangolini. Complessivamente l'area $A$ del triangolo di partenza è la somma delle aree di ciascuno di questi triangolini
$A=(rh_a)/2+(rh_b)/2+(rh_c)/2=r(h_a/2+h_b/2+h_c/2)$
e, dividendo per $r$ si ha
$A/r=h_a/2+h_b/2+h_c/2$ (1)
L'area del triangolo si può anche calcolare come
$A=(ah_a)/2$
da cui si ricava
$a/2 = A/h_a$
Analoghe relazioni si possono ricavare per $b$ e per $c$
$b/2 = A/h_b$ e $c/2 = A/h_c$
Sostituendole nella relazione (1) si ha
$A/r=A/h_a+A/h_b+A/h_c$
e dividendo per $A$ si trova la relazione (b)
$1/r=1/h_a+1/h_b+1/h_c$
Per la relazione (1) ho ragionato in modo analogo, congiungendo i vertici del triangolo con il punto $P$ ed esprimendo l'area $A$ come somma delle areee dei tre triangolini che si vengono a formare
$A=(ax)/2+(by)/2+(cz)/2$ (2)
Analogamente, l'area del tringolo può essere calcolata come
$A=(ah_a)/2$
da cui
$a/2=A/h_a$
e similmente
$b/2=A/h_b$ e $c/2=A/h_c$
Sostituendo nella (2) si ha
$A=(Ax)/h_a+(Ay)/h_b+(Az)/h_c$
e dividendo per $A$ si ottiene la relazione (a)
$x/h_a+y/h_b+z/h_c=1$
Se $P$ cade esternamente al triangolo, nel primo membro della relazione (a) 1 o 2 termini hanno il segno $-$ (meno) anziché il segno $+$. In pratica ogni retta su cui giace un lato del triangolo divide il piano in due semipiani uno dei quali contiene il triangolo. Considerato un lato (ad esempio $a$), il termine associato (in questo caso $x/h_a$) ha il segno $+$ se $P$ sta sul semipiano che contiene il triangolo, altrimenti ha segno negativo.
C'è una soluzione piú semplice?
Per karl: se sei appassionato di geometria sintetica prova a risolvere (se non l'hai già fatto) il primo problema della tema di maturità scientifica dell'anno scolastico 1994-1995 (era il mio tema di maturità: quel giorno provai con trigonometria ma non ci arrivai per un soffio, sui giornali uscí una soluzione improponibile che utilizzava la geometria analitica [ovviamente i calcoli non venivano mostrati perché erano indecenti!!!
]. Dopo l'orale sono riuscito a risolverlo con la sola geometria sintetica, però mi ricordo che un po' di passaggi ci volevano. Una cosa curiosa era che la commissaria esterna di matematica non lo sapeva risolvere 
).
La circonferenza inscritta ha centro $C$ nell'intersezione delle bisettrici (incentro) e la distanza di $C$ da ciascun lato del triangolo è appunto il suo raggio $r$. Congiungendo ciascuno dei vertici con $C$, il triangolo viene suddiviso in 3 triangolini ciascuno dei quali ha per base uno dei lati del triangolo di partenza e come terzo vertice $C$ stesso. Di conseguenza il raggio $r$ è l'altezza di ciascuno di questi triangolini. Complessivamente l'area $A$ del triangolo di partenza è la somma delle aree di ciascuno di questi triangolini
$A=(rh_a)/2+(rh_b)/2+(rh_c)/2=r(h_a/2+h_b/2+h_c/2)$
e, dividendo per $r$ si ha
$A/r=h_a/2+h_b/2+h_c/2$ (1)
L'area del triangolo si può anche calcolare come
$A=(ah_a)/2$
da cui si ricava
$a/2 = A/h_a$
Analoghe relazioni si possono ricavare per $b$ e per $c$
$b/2 = A/h_b$ e $c/2 = A/h_c$
Sostituendole nella relazione (1) si ha
$A/r=A/h_a+A/h_b+A/h_c$
e dividendo per $A$ si trova la relazione (b)
$1/r=1/h_a+1/h_b+1/h_c$
Per la relazione (1) ho ragionato in modo analogo, congiungendo i vertici del triangolo con il punto $P$ ed esprimendo l'area $A$ come somma delle areee dei tre triangolini che si vengono a formare
$A=(ax)/2+(by)/2+(cz)/2$ (2)
Analogamente, l'area del tringolo può essere calcolata come
$A=(ah_a)/2$
da cui
$a/2=A/h_a$
e similmente
$b/2=A/h_b$ e $c/2=A/h_c$
Sostituendo nella (2) si ha
$A=(Ax)/h_a+(Ay)/h_b+(Az)/h_c$
e dividendo per $A$ si ottiene la relazione (a)
$x/h_a+y/h_b+z/h_c=1$
Se $P$ cade esternamente al triangolo, nel primo membro della relazione (a) 1 o 2 termini hanno il segno $-$ (meno) anziché il segno $+$. In pratica ogni retta su cui giace un lato del triangolo divide il piano in due semipiani uno dei quali contiene il triangolo. Considerato un lato (ad esempio $a$), il termine associato (in questo caso $x/h_a$) ha il segno $+$ se $P$ sta sul semipiano che contiene il triangolo, altrimenti ha segno negativo.
C'è una soluzione piú semplice?
Per karl: se sei appassionato di geometria sintetica prova a risolvere (se non l'hai già fatto) il primo problema della tema di maturità scientifica dell'anno scolastico 1994-1995 (era il mio tema di maturità: quel giorno provai con trigonometria ma non ci arrivai per un soffio, sui giornali uscí una soluzione improponibile che utilizzava la geometria analitica [ovviamente i calcoli non venivano mostrati perché erano indecenti!!!
]. Dopo l'orale sono riuscito a risolverlo con la sola geometria sintetica, però mi ricordo che un po' di passaggi ci volevano. Una cosa curiosa era che la commissaria esterna di matematica non lo sapeva risolvere ).
Benissimo, Taddeo.Solo osserverei che la seconda relazione
e' una ovvia conseguenza della prima se si fa coincidere il punto
con l'incentro del triangolo.
Non ho la traccia del problema di cui parli.Facciamo così:
tu postala per tutti nella sezione "Medie e Superiori " e vediamo
cosa ne viene.
Intanto ti segnalo che una cosa analoga l'avevo postata anch'io qualche tempo
addietro.Ecco il link (se ti interessa):
http://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=17100
karl
e' una ovvia conseguenza della prima se si fa coincidere il punto
con l'incentro del triangolo.
Non ho la traccia del problema di cui parli.Facciamo così:
tu postala per tutti nella sezione "Medie e Superiori " e vediamo
cosa ne viene.
Intanto ti segnalo che una cosa analoga l'avevo postata anch'io qualche tempo
addietro.Ecco il link (se ti interessa):
http://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=17100
karl
"karl":
Benissimo, Taddeo.Solo osserverei che la seconda relazione
e' una ovvia conseguenza della prima se si fa coincidere il punto
con l'incentro del triangolo.
Certo, ma cosa vuoi...ho il prosciutto sugli occhi...
"karl":
Non ho la traccia del problema di cui parli.Facciamo così:
tu postala per tutti nella sezione "Medie e Superiori " e vediamo
cosa ne viene.
Va bene, la recupererò da qualche libro di vecchi temi d'esame...o dai giornali dell'epoca (sono vecchio, sigh
)"karl":
Intanto ti segnalo che una cosa analoga l'avevo postata anch'io qualche tempo
addietro.Ecco il link (se ti interessa):
http://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=17100
L'avevo vista ma non mi sono soffermato...andrò a rivederla...
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