Simmetrie!

[angelaXC]

data la funzione y= (x^2 -4x -3)/(x^2 - 2x -3)
trovare i punti della curva simmetrici rispetto all'origine degli assi!

[BIT5]

I punti simmetrici all'origine degli assi sono quelli che rispondono alla condizione

[math]f(-x)=-f(x)[/math]

Pertanto

[math]((-x)^2-4(-x)-3)((-x)^2-2(-x)-3)=-(x^2-4x-3)(x^2-2x-3)[/math]

Risolvi l'equazione e sei a posto!

[angelaXC]

ma il problema è tovare i punti simmetrici della curva stessa o meglio
sostituendo come tu dici ci troveremmo di fronte ad una situazione di questo tipo:

P' [x ; (x^2-4x-3)/(x^2-2x-3)]
P''[-x ; -(x^2+4x-3)/(x^2+2x-3)]
il mio problema è trovare la x, il suo valore.
avevo pensato di fare l'intersezione tra le due curve ma non viene.
attendo una risposta. grazie

[BIT5]

Allora.

Se risolvi l'equazione, trovi i valori di x che rispondono all'equazione.

Provo a farti un paio di esempi, prendendo funzioni più "banali".

Consideriamo la funzione

[math]f(x)=x [/math]

che come sai è la bisettirce del primo/terzo quadrante, ed è una funzione dispari dal momento che

[math]f(-x)=-f(x) \ \forall x \in \mathbb{R}[/math]

Infatti, se risolvi l'equazione, ottieni

[math](-x)=-(x) \\ 0=0 \ indeterminata[/math]

Prendiamo adesso una funzione pari

[math]f(x)=x^2+1[/math]

Se impostiamo l'equazione come sopra, otterremo

[math](-x)^2+1=-(x^2+1)[/math]

da cui

[math]x^2+1=-x^2-1 \\ 2x^2=-2 \\ x^2=-1 \ impossibile[/math]

Ovvero, non esistono valori di x che soddisfino la richiesta.

Nel nostro caso, abbiamo un'equazione.
Se la risolvi ottieni una biquadratica.
Otterrai delle coppie di valori di x.
Questo è ovvio, perchè l'equazione, se esistono dei punti simmetrici rispetto all'origine, darà come risultato sempre coppie di valori opposti.

Una volta trovati i valori di x, sostituisci alla funzione e trovi i corrispondenti valori di f(x) che, come vedrai, saranno anch'essi opposti..

[aleio1]

[math]y= \frac{x^2 -4x -3}{x^2 - 2x -3}[/math]

deve essere:

[math]\frac{(-x)^2 -4(-x) -3}{(-x)^2 - 2(-x) -3}=\frac{-x^2 +4x +3}{x^2 - 2x -3}\longrightarrow[/math]

[math]\longrightarrow \frac{x^2 +4x -3}{x^2 +2x -3}=\frac{-x^2 +4x +3}{x^2 - 2x -3}\longrightarrow[/math]

[math]\longrightarrow (x^2+4x-3)(x^2-2x-3)=(-x^2+4x+3)(x^2+2x-3)\longrightarrow[/math]

[math]\longrightarrow x^4-14x^2+9=0[/math]

I valori che risolvono la biquadratica sono le ascisse dei punti di simmetria.

[BIT5]

BIT5:
I punti simmetrici all'origine degli assi sono quelli che rispondono alla condizione

[math]f(-x)=-f(x)[/math]

Pertanto

[math]((-x)^2-4(-x)-3)((-x)^2-2(-x)-3)=-(x^2-4x-3)(x^2-2x-3)[/math]

Risolvi l'equazione e sei a posto!

Chiedo scusa, ma la frazione non l'avevo proprio vista!!!
Il metodo è quello che ho scritto (e che aleio1 conferma..) ma ovviamente l'equazione da risolvere è

[math]\frac{(-x)^2-4(-x)-3}{(-x)^2-2(-x)-3}= - \frac{x^2-4x-3}{x^2-2x-3}[/math]

[angelaXC]

:hiringrazio entrambi per l'aiuto.
in effetti avevo eseguito già la sostituzione x'=-x
y'=-x
ma evidentemente è il libro che ha sbagliato il risultato perchè risolvendo un altro problema mi trovo.
grazie grazie grazie.

[BIT5]

Benissimo.
Alla prossima!
Chiudo.