Similitudine dei triangoli

[tiziano_romualdi]

un triangolo rettangolo ha un cateto lungo 2 radice di 2 cm. Traccia una retta perpendicolare a tale cateto, in modo che il triangolo risulti suddiviso in due poligoni equivalenti. Calcola la lunghezza delle due parti in cui cateto è suddiviso dalla retta.

[nRT]

Ciao,
proverei a risolverlo così.

Cerco di descriverti il disegno come l'ho fatto, così ci intendiamo con le lettere. :)

Disegniamo il triangolo rettangolo con il cateto verticale a sinistra e il cateto orizzontale in basso. Lo dividiamo in due parti e chiamiamo, in senso orario, partendo dal vertice in alto:
- le due parti dell'ipotenusa a, b;
- la base in basso c;
- le due parti del cateto verticale (sempre in senso orario) d, e;
- il segmento che divide il triangolo f
Per comodità con i calcoli poniamo d + e = g

Per proporzionalità sappiamo che:

[math]\frac{c}{f} = \frac{g}{e} \\[/math]

e sappiamo che le due superfici sono equivalenti, quindi:

[math]\frac{cg}{2} = 2 \cdot \frac{ef}{2} \\
cg = 2 ef \\
\frac{c}{f} = \frac{2e}{g} \\
[/math]

Uguagliamo le due, e otteniamo:

[math]\frac{2e}{g} = \frac{g}{e} \\
2e^2 = g^2 \\
2e^2 = (d+e)^2 \\
2e^2 = d^2 + 2de + e^2 \\
d^2 +2de - e^2 = 0 \\
d = \frac{ -2e \pm \sqrt{4e^2 + 4e^2}}{2} \\
d = \frac{ -2e \pm 2\sqrt{2}e}{2} \\
d = -e \pm \sqrt{2} e \\
d + e = \pm \sqrt{2} e \\
2 \sqrt{2} = \pm \sqrt{2} e \\
e = 2
[/math]

(considerando solo il valore positivo, trattandosi di un segmento).
Quindi:

[math]d = 2(\sqrt{2} - 1) \\[/math]

Spero possa esserti stato d'aiuto. Se c'è qualcosa di strano chiedi pure.
Ciao :)

[tiziano_romualdi]

grazie per l'aiuto e l'ottimo consiglio

[nRT]

Prego! :)