Significato geometrico dell'integrale definito [Risolto]
Secondo voi ha senso dare un'interpretazione geometrica del seguente integrale definito?
$$ \int_a^a f(x) dx $$
Ovviamente so che fa $0$, ma la sua interpretazione geometrica non mi è chiara, anzi, secondo me è una domanda "mal posta".
Partiamo dal presupposto che l'integrale definito
$$ \int_a^b f(x) dx $$
con $ a < b$ [strike]è[/strike] ha a che fare con l'area della regione di piano compresa tra il grafico della funzione, l'asse $x$ e le rette di equazioni $x=a$ e $x=b$.
Per arrivare all'integrale di cui sopra (con $a=b$) potrei procedere in diversi modi: far tendere l'estremo inferiore a quello superiore; far tendere l'estremo superiore a quello inferiore; far convergere entrambi gli estremi verso lo stesso valore.
Da un punto di vista analitico non dovrebbe cambiare nulla (si ottiene sempre risultato 0), ma da un punto di vista geometrico potrei avere situazioni differenti per cui la regione di piano degenera in un segmento (nel caso di una funzione continua in $x=a$, suppongo) o in due o più segmenti nel caso di funzioni discontinue.
Ha senso questo ragionamento? Oppure è più corretto dire semplicemente che se la funzione è definita in $x=a$ la regione degenera nel segmento che va dal punto $(a,0)$ al punto $(a,f(a))$?
Scusate se la domanda sembra oziosa, ma mi è stata posta da uno studente delle superiori (ebbene sì, sono un professore fisico che non ricorda benissimo "Analisi 1") e non vorrei dargli una risposta sbagliata, né a lui incomprensibile.
$$ \int_a^a f(x) dx $$
Ovviamente so che fa $0$, ma la sua interpretazione geometrica non mi è chiara, anzi, secondo me è una domanda "mal posta".
Partiamo dal presupposto che l'integrale definito
$$ \int_a^b f(x) dx $$
con $ a < b$ [strike]è[/strike] ha a che fare con l'area della regione di piano compresa tra il grafico della funzione, l'asse $x$ e le rette di equazioni $x=a$ e $x=b$.
Per arrivare all'integrale di cui sopra (con $a=b$) potrei procedere in diversi modi: far tendere l'estremo inferiore a quello superiore; far tendere l'estremo superiore a quello inferiore; far convergere entrambi gli estremi verso lo stesso valore.
Da un punto di vista analitico non dovrebbe cambiare nulla (si ottiene sempre risultato 0), ma da un punto di vista geometrico potrei avere situazioni differenti per cui la regione di piano degenera in un segmento (nel caso di una funzione continua in $x=a$, suppongo) o in due o più segmenti nel caso di funzioni discontinue.
Ha senso questo ragionamento? Oppure è più corretto dire semplicemente che se la funzione è definita in $x=a$ la regione degenera nel segmento che va dal punto $(a,0)$ al punto $(a,f(a))$?
Scusate se la domanda sembra oziosa, ma mi è stata posta da uno studente delle superiori (ebbene sì, sono un professore fisico che non ricorda benissimo "Analisi 1") e non vorrei dargli una risposta sbagliata, né a lui incomprensibile.
Risposte
"accasette":
... la regione di piano degenera in un segmento
Direi che la risposta è proprio questa, dato che l'area di un segmento è zero. E vale anche per l'area di due segmenti.
Ma anche la mia laurea è in fisica, quindi non do garanzie.
La cosa interessante è far capire al ragazzo perché l'area di un segmento è $0$.
gugo82 non prendertela con due poveri fisici!
Piuttosto, come risponderesti alla domanda "qual è l'interpretazione geometrica dell'integrale
$$ \int_a^a f(x)dx $$
?"
A me verrebbe da dire "nessuna".
Piuttosto, come risponderesti alla domanda "qual è l'interpretazione geometrica dell'integrale
$$ \int_a^a f(x)dx $$
?"
A me verrebbe da dire "nessuna".
È l'area di un segmento, sono d'accordo ed è facilmente comprensibile con le idee che proponevate.
Il problema è far capire perché l'area di un segmento è nulla... Ed in questo un Fisico, anche se non ricorda nulla di Analisi 1 (il che è un peccato mortale che non ti può essere perdonato, soprattutto se insegni), può dire la sua tranquillamente.
Il problema è far capire perché l'area di un segmento è nulla... Ed in questo un Fisico, anche se non ricorda nulla di Analisi 1 (il che è un peccato mortale che non ti può essere perdonato, soprattutto se insegni), può dire la sua tranquillamente.
Dai, qualcosa ricordo e qualcosa me lo ristudierò questa estate (andrò comunque all'inferno, ma almeno ci andrò con una preparazione migliore). Il fatto è che insegnare alle superiori significa mordersi molte volte la lingua e fare dei compromessi tra completezza e chiarezza, cercando di preservare almeno la correttezza. Si lavora con tanti studenti che non hanno chiari neanche i concetti basilari e alla minima difficoltà algebrica vanno nel pallone. Anche i libri di testo, molto spesso, tentano di fornire strategie risolutive per gli esercizi che hanno senso solamente per una casistica limitata. Di conseguenza alcuni ricordi sbiadiscono. Nel caso specifico tentavo di richiamare alla memoria alcune cose, come: decomposizione di un intervallo, funzioni "patologiche, criteri di integrabilità. Alla fine, però, non serviva.
Ad ogni modo ho risolto così: ho fatto un'animazione con geogebra per visualizzare l'area del trapezoide e verificare che la regione degenerasse in un segmento e che l'area tendesse a zero, mostrando anche come sia le somme superiori che inferiori tendessero a zero.
Ad ogni modo ho risolto così: ho fatto un'animazione con geogebra per visualizzare l'area del trapezoide e verificare che la regione degenerasse in un segmento e che l'area tendesse a zero, mostrando anche come sia le somme superiori che inferiori tendessero a zero.
Scusa, ma che vuol dire "misurare un'area"?
Che significa che una figura geometrica ha "area nulla"?
Perché un punto ed un segmento hanno (misura di) area nulla?
Poi, anch'io insegni alle superiori e non ci ho mai creduto a queste cavolate: i testi così e così, gli studenti così e così, e poropò e parapà...
Gli studenti sono come tu gli insegni ad essere.
I testi sono dei canovacci da cui prendere spunto.
Quello che conta è quanto tu conosci e quanto tu sei in grado di veicolare di quel che conosci. Il resto sono cazzate.
Che significa che una figura geometrica ha "area nulla"?
Perché un punto ed un segmento hanno (misura di) area nulla?
Poi, anch'io insegni alle superiori e non ci ho mai creduto a queste cavolate: i testi così e così, gli studenti così e così, e poropò e parapà...
Gli studenti sono come tu gli insegni ad essere.
I testi sono dei canovacci da cui prendere spunto.
Quello che conta è quanto tu conosci e quanto tu sei in grado di veicolare di quel che conosci. Il resto sono cazzate.
Provo a rispondere alle tue domande, correggimi se sbaglio.
D: cosa vuol dire "misurare un' area"?
R: Confrontare la superficie di cui voglio misurare l'area con superfici di area nota (es. rettangolo). Per i poligoni tipicamente si ragiona in termini di equiscomponibilità ed equivalenza delle figure. Per figure con tratti curvilinei si procede con approssimazioni successive ed è necessario il concetto di limite.
D: Che significa che una figura geometrica ha "area nulla"?
R: Che si può dimostrare che $\forall \epsilon > 0$ l'area della figura è minore di $\epsilon$.
D: Perché un punto ed un segmento hanno (misura di) area nulla?
R: Perché è sempre possibile trovare un rettangolo di area arbitrariamente piccola che li contiene. Oppure, più banalmente, perché non arrivano a 2 dimensioni.
[ot]
Non sono d'accordo. Tralasciando il fatto che spesso hanno avuto diversi insegnanti prima di me, il loro apporto è enorme: uno studente curioso e profondo con un pessimo insegnante probabilmente raggiungerà risultati migliori di uno studente pigro e superficiale con un ottimo insegnante. Ovviamente peggiori di uno studente interessato con un ottimo insegnante
Aggiungerei anche "e quanto tempo hai a disposizione e quanto lo studente è interessato".
Io non riesco a spiegare le equazioni differenziali in 5 minuti a un gatto.[/ot]
D: cosa vuol dire "misurare un' area"?
R: Confrontare la superficie di cui voglio misurare l'area con superfici di area nota (es. rettangolo). Per i poligoni tipicamente si ragiona in termini di equiscomponibilità ed equivalenza delle figure. Per figure con tratti curvilinei si procede con approssimazioni successive ed è necessario il concetto di limite.
D: Che significa che una figura geometrica ha "area nulla"?
R: Che si può dimostrare che $\forall \epsilon > 0$ l'area della figura è minore di $\epsilon$.
D: Perché un punto ed un segmento hanno (misura di) area nulla?
R: Perché è sempre possibile trovare un rettangolo di area arbitrariamente piccola che li contiene. Oppure, più banalmente, perché non arrivano a 2 dimensioni.
[ot]
Gli studenti sono come tu gli insegni ad essere.
Non sono d'accordo. Tralasciando il fatto che spesso hanno avuto diversi insegnanti prima di me, il loro apporto è enorme: uno studente curioso e profondo con un pessimo insegnante probabilmente raggiungerà risultati migliori di uno studente pigro e superficiale con un ottimo insegnante. Ovviamente peggiori di uno studente interessato con un ottimo insegnante
Quello che conta è quanto tu conosci e quanto tu sei in grado di veicolare di quel che conosci. Il resto sono cazzate.
Aggiungerei anche "e quanto tempo hai a disposizione e quanto lo studente è interessato".
Io non riesco a spiegare le equazioni differenziali in 5 minuti a un gatto.[/ot]
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