Significato della costante $e$

[Phaedrus1]

Avrei da porvi una domanda: per comprendere il significato del numero di Nepero è imprescindibile la conoscenza dell'analisi?

[Benny24]

$lim_(x\ to\infty)(1+ 1/x)^x=e$

Se conosci questa scrittura sai cosa $e$ rappresenta. Sapere le sue proprietà è un altro discorso.

[Sk_Anonymous]

Sviluppando in serie di Taylor la funzione e^x, nel punto x=1 si perviene ad un calcolo che di difficile non ha più nulla; lo sviluppo è questo:
$e^1=1/(0!)+1/(1!)+1/(2!)+1/(3!)+...+1/(n!)$ ed è lo stesso che si ottiene sviluppando la potenza binomiale che compare nel limite di cui sopra ed è proprio il valore di $e$. L'importanza del numero $e$ in Analisi, invece, rappresenta ciò che lo 0 (zero) è nel campo dei Numeri, perché esiste, in Analisi, UNA SOLA FUNZIONE la cui derivata è SE' STESSA ed è proprio la funzione: $f(x) = e^x$. Se si fa attenzione allo sviluppo in serie, si potrà facilmente notare, inoltre, che i termini di ordine pari rappresentano il $cos\ x$, mentre quelli di ordine dispari rappresentano il $sen\ x$ ed è questo il motivo che fa della funzione $e^x$ un dono divino perché si può passare dai reali ai complessi con la $e^(jx)=J(cos\ x+ sen\ x)$.
Personalmente alla tua domanda risponderei si, che non è necessario, basta non doverlo mai usare.

[Steven11]

"IvanTerr":perché esiste, in Analisi, UNA SOLA FUNZIONE la cui derivata è SE' STESSA ed è proprio la funzione: $f(x) = e^x$.

Perché non anche
$f(x)=0$
?

[cozzataddeo]

"IvanTerr":perché esiste, in Analisi, UNA SOLA FUNZIONE la cui derivata è SE' STESSA ed è proprio la funzione: $f(x) = e^x$.

Attenzione, questa affermazione è falsa, o per lo meno imprecisa.
Le funzioni reali di variabile reale che coincidono con la propria derivata sono infinite e sono tutte della forma

$f(x)=Ae^x$

dove $A \in RR$ è una costante arbitraria. Prendendo $A=0$ si ottiene come caso particolare l'esempio giustamente riportato da Steven.
Tali funzioni non sono altro che le soluzioni dell'equazione differenziale ordinaria lineare del primo ordine a coefficienti costanti

$y'=y$ ovvero $y'-y=0$

[Phaedrus1]

Ok, quindi in pratica io che ho studiato solo la funzione esponenziale e i logaritmi dovrò aspettare per farmi un'idea di cosa rappresenti questo $e$

[gugo82]

"Phaedrus":Ok, quindi in pratica io che ho studiato solo la funzione esponenziale e i logaritmi dovrò aspettare per farmi un'idea di cosa rappresenti questo $e$

Beh, $e$ è un numero come ogni altro... certo è irrazionale e trascendente (ossia non lo si può ottenere come soluzione di un'equazione del tipo $p(x)=0$ con $p$ polinomio a coefficienti interi), ma in sé non è tanto diverso dagli altri numeri reali.

Quello che stupisce sono le proprietà della funzione esponenziale $e^x$, che è una delle funzioni più importanti della Matematica (ad esempio si può usare l'estensione complessa dell'esponenziale per definire $pi$!).
Per adesso accontentati di studiare bene le proprietà fondamentali della funzione esponenziale neperiana... il resto arriverà, prima o poi.

[Chevtchenko]

"Gugo82":Beh, $e$ è un numero come ogni altro... certo è irrazionale e trascendente (ossia non lo si può ottenere come soluzione di un'equazione del tipo $p(x)=0$ con $p$ polinomio a coefficienti interi), ma in sé non è tanto diverso dagli altri numeri reali.

Tanto più che, com'è noto, i numeri algebrici formano un insieme che è solo numerabile... quindi i numeri reali sono in pratica tutti trascendenti!

[Gabriel6]

"Phaedrus":Avrei da porvi una domanda: per comprendere il significato del numero di Nepero è imprescindibile la conoscenza dell'analisi?

No, è sufficiente conoscere l'alfabeto latino: se non ricordo male, $e$ rappresenta il quinto elemento del suo ordinamento lessicografico standard.

[Sk_Anonymous]

In ogni caso, $e$ non è il numero di Nepero (a Nepero si riconoscono i logaritmi naturali), se mai è una convenzione di scrittura utilizzata per primo da Eulero per denotare una potenza ($e$ da "Esponente", o, come alcuni credono, inziale del nome del grande matematico svizzero stesso).