Si risolva se esiste il limite

[mate15]

salve avrei un aiuto su come poter continuare questo esercizio..
si risolva ,se esiste ,attraverso l'uso di limiti notevoli il seguente limite

[math]\lim_{x \to 0}\frac{log(e^{x}+x)}{sin^{2}x+x^{3}}[/math]

allora io ho iniziato in tal modo..
il limite si presenta nella forma indeterminata

[math]0/0[/math]

quindi scrivo

[math]sin^{2}x[/math]

come

[math](sinx)^{2}[/math]

cioè

[math]\lim_{x \to 0}\frac{log(e^{x}+x)}{(sinx)^{2}+x^{3}}[/math]

quindi al denominatore ricordando il limite notevole del seno,moltiplico e divido per

[math]x[/math]

:

[math]\lim_{x \to 0}\frac{log(e^{x}+x)}{(\frac{sin x}{x}x)^{2}+x^{3}}[/math]

ora però non sò come continuare...
se mi potete aiutare..
grazie

[ciampax]

Idea giusta e puoi usarla anche con il numeratore. Per prima cosa, al denominatore hai il limite notevole per la funzione seno, per cui la frazione ha limite 1 e nella parentesi resta solo

[math]x^2[/math]

. Nell'argomento del logaritmo, invece, puoi scrivere

[math]e^x+x=e^x-1+1+x=\frac{e^x-1}{x}\cdot x+1+x\to x+1+x=1+2x[/math]

ricordando che

[math]\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1[/math]

. Fatto questo, usando il fatto che

[math]\lim_{t\to 0}\frac{\log(1+t)}{t}=1[/math]

abbiamo

[math]\lim_{x\to 0}\log(e^x+x)=\lim_{x\to 0}\log(1+2x)=\\ \lim_{x\to 0}\frac{\log(1+2x)}{2x}\cdot 2x=\lim_{x\to 0} 2x[/math]

Pertanto il limite risulta

[math]\lim_{x\to 0}\frac{2x}{x^2+x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{2x}{x^2(1+x)}=\lim_{x\to 0}\frac{2}{x}=\infty[/math]