Si risolva la disequazione (123380)

[mate15]

salve avrei bisogno del vostro aiuto con questa disequazione:

[math]log_{\frac{1}{3}}\left ( sinx-cosx+1 \right )\leq 0[/math]

io ho provato a iniziarla..
Osservando che

[math]log_{\frac{1}{3}}y\leq 0[/math]

se e solo se

[math]y \geq 1[/math]

abbiamo quindi

[math]\left ( sinx-cosx+1 \right )\geq 1[/math]

[math]\left ( sinx-cosx \right )\geq 0[/math]

ora non riesco a risolvere quest'ultima disequazione...
se mi potete aiutare..
grazie..

[ciampax]

Possiamo raccogliere

[math]\cos x[/math]

ottenendo la disequazione equivalente

[math]\cos x(\tan x-1)\ge 0[/math]

A questo punto basta risolvere le due disequazioni

[math]\cos x\ge 0,\qquad \tan x\ge 1[/math]

ed usare il grafico per il calcolo dei segni per trovare la soluzione.

[mate15]

scusa come hai fatto a raccogliere??
non sto capendo..
se mi puoi aiutare..
grazie..

[ciampax]

Raccogliendo ottieni

[math]\sin x-\cos x=\cos x\left(\frac{\sin x}{\cos x}-1\right)=\cos x(\tan x-1)[/math]

[mate15]

allora quindi avremo che:

[math]cosx\geq 0\Rightarrow \frac{3}{2}\pi+2k\pi \leq x\leq 2\pi+2k\pi[/math]

e

[math]tanx\geq 1\Rightarrow \frac{\pi }{4}+k\pi \leq x\leq \frac{\pi }{2}+k\pi[/math]

è giusto???
quindi quali sarebbero le soluzione..
se mi puoi aiutare..
fammi sapere.
grazie..

[ciampax]

La soluzione della prima disequazione non è corretta: quella giusta, presa sull'intervallo

[math][0,2\pi][/math]

è

[math]0\le x\le \frac{\pi}{2}\ \vee\ \frac{3\pi}{2}\le x\le 2\pi[/math]

Allo stesso modo, le soluzioni per la seconda disequazione tra zero e

[math]2\pi[/math]

sono

[math]\frac{\pi}{4}\le x