Seste potenze
Quanto vale la somma delle seste potenze delle soluzioni dell'equazione [tex]x^6-16x^4+16x^2-1=0[/tex]?
Sono riuscito a scomporre il polinomio in
[tex](x^2-1)(x^4-15x^2+1)=0[/tex],
tuttavia le soluzioni non sono intere e nello svolgere l'equazione di secondo grado, per trovare le soluzioni mi impiccio, o meglio quello che sta scritto sotto la radice non è un quadrato. Ecco, vi chiedo se potreste aiutarmi :D .
Sono riuscito a scomporre il polinomio in
[tex](x^2-1)(x^4-15x^2+1)=0[/tex],
tuttavia le soluzioni non sono intere e nello svolgere l'equazione di secondo grado, per trovare le soluzioni mi impiccio, o meglio quello che sta scritto sotto la radice non è un quadrato. Ecco, vi chiedo se potreste aiutarmi :D .
Risposte
La scomposizione non va bene, il primo fattore è $x^2-1$.
A parte questo, qual è il problema esattamente? Come hai detto tu il delta non viene un quadrato, ma... la strada è quella.
Paola
Edit: puoi anche provare questo trucco:
$x^4 -15x^2 +1 = (x^4 -2x^2 +1)-13x^2 = (x^2-1)^2 -13x^2$ e poi usare la formula della differenza di quadrati.
A parte questo, qual è il problema esattamente? Come hai detto tu il delta non viene un quadrato, ma... la strada è quella.
Paola
Edit: puoi anche provare questo trucco:
$x^4 -15x^2 +1 = (x^4 -2x^2 +1)-13x^2 = (x^2-1)^2 -13x^2$ e poi usare la formula della differenza di quadrati.
Ho sbagliato a scrivere con il latex. 
Anzitutto ho notato due soluzioni reali del polinomio [tex](x^2-1)(x^4-15x^2+1)=0[/tex]
[tex]x=\pm1[/tex]
Non ho capito come hai scomposto quel polinomio come trinomio notevole dato che il risultato sotto radice non è un quadrato perfetto, ma seguendo il consiglio comunque sono arrivato a
[tex](x^2-1)(x+1)^2(x-1)^2-13x^2=0[/tex], ma in questo caso la radice [tex]x=\pm1[/tex] non è valida quindi deve esserci un'errore.
Edit: ho modificato l'errore.
Anzitutto ho notato due soluzioni reali del polinomio [tex](x^2-1)(x^4-15x^2+1)=0[/tex]
[tex]x=\pm1[/tex]
Non ho capito come hai scomposto quel polinomio come trinomio notevole dato che il risultato sotto radice non è un quadrato perfetto, ma seguendo il consiglio comunque sono arrivato a
[tex](x^2-1)(x+1)^2(x-1)^2-13x^2=0[/tex], ma in questo caso la radice [tex]x=\pm1[/tex] non è valida quindi deve esserci un'errore.
Edit: ho modificato l'errore.
Perchè hai dimenticato una parentesi:
$(x^2-1)[(x^2-1)^2-13x^2]=(x^2-1)[(x^2-1)-\sqrt{13}x][(x^2-1)+\sqrt{13}x]$
Non importa se $13$ non è un quadrato, perché sei razzista verso $\sqrt{13}$ ?
Paola
$(x^2-1)[(x^2-1)^2-13x^2]=(x^2-1)[(x^2-1)-\sqrt{13}x][(x^2-1)+\sqrt{13}x]$
Non importa se $13$ non è un quadrato, perché sei razzista verso $\sqrt{13}$ ?
Paola
"prime_number":
Non importa se $13$ non è un quadrato, perché sei razzista verso $\sqrt{13}$ ?
Paola
Ecco, ho un altro dubbio ma devo elevare alla sesta tutte le soluzione e poi sommarle?
Il risultato giusto è 6662, ma adesso non so' come proseguire per trovare le soluzioni che sono reali ma anche complesse, o sbaglio?
Il testo è tratto dalla provinciale di matematica di quest'anno ed è un quesito che non sono riuscito a risolvere.
Le radici sono tutte reali. I discriminanti delle due eq. di II grado più a destra sono brutti, ma positivi.
Quando hai trovato tutte e 6 le soluzioni $x_1, ..., x_6$ fai $x_1^6 +... + x_6^6$.
Paola
Quando hai trovato tutte e 6 le soluzioni $x_1, ..., x_6$ fai $x_1^6 +... + x_6^6$.
Paola
Penso che si possa rendere notevolmente meno "calcoloso" 
Come al solito, nelle gare di matematica bisogna sfruttare qualche trucco (e qualche conoscenza) per evitare fastidiosi calcoli.
Allora, abbiamo $x^6-16x^4+16x^2-1=0$, che si trasforma in $(x^2-1)(x^4-15x^2+1)=0$
A questo punto due soluzioni le conosciamo ($x_1=1$, $x_2=-1$), le altre quattro sono meno banali.
Si tratta di risolvere $x^4-15x^2+1=0$ : usiamo la solita forma, quella col $Delta$ (che viene $221$): $x^2=(15+-sqrt221)/2$
Per comodità pongo $c_1=(15+sqrt221)/2$ e $c_2=(15-sqrt221)/2
Sono entrambi numeri positivi, quindi in entrambi i casi se ne può fare la radice quadrata.
Parentesi:
Le altre quattro soluzioni sono pertanto: $x_3=sqrt(c_1)$, $x_4=-sqrt(c_1)$, $x_5=sqrt(c_2)$, $x_6=-sqrt(c_2)$.
La somma delle seste potenze delle soluzioni è $x_1^6+x_2^6+x_3^6+x_4^6+x_5^6+x_6^6=1+1+c_1^3+c_1^3+c_2^3+c_2^3=2(1+c_1^3+c_2^3)=...$
Si ottiene che $c_1^3+c_2^3=(c_1+c_2)*[(c_1+c_2)^2-3c_1*c_2]$
Ma sappiamo che $c_1+c_2=15$ e che $c_1*c_2=1$, quindi $c_1^3+c_2^3=15*(15^2-3*1)=15*(225-3)=15*222$
Quindi la soluzione è $2*(1+15*222)=2+2*15*222=2+30*222=2+6660=6662$
Come al solito, nelle gare di matematica bisogna sfruttare qualche trucco (e qualche conoscenza) per evitare fastidiosi calcoli.
Allora, abbiamo $x^6-16x^4+16x^2-1=0$, che si trasforma in $(x^2-1)(x^4-15x^2+1)=0$
A questo punto due soluzioni le conosciamo ($x_1=1$, $x_2=-1$), le altre quattro sono meno banali.
Si tratta di risolvere $x^4-15x^2+1=0$ : usiamo la solita forma, quella col $Delta$ (che viene $221$): $x^2=(15+-sqrt221)/2$
Per comodità pongo $c_1=(15+sqrt221)/2$ e $c_2=(15-sqrt221)/2
Sono entrambi numeri positivi, quindi in entrambi i casi se ne può fare la radice quadrata.
Parentesi:
Le altre quattro soluzioni sono pertanto: $x_3=sqrt(c_1)$, $x_4=-sqrt(c_1)$, $x_5=sqrt(c_2)$, $x_6=-sqrt(c_2)$.
La somma delle seste potenze delle soluzioni è $x_1^6+x_2^6+x_3^6+x_4^6+x_5^6+x_6^6=1+1+c_1^3+c_1^3+c_2^3+c_2^3=2(1+c_1^3+c_2^3)=...$
Si ottiene che $c_1^3+c_2^3=(c_1+c_2)*[(c_1+c_2)^2-3c_1*c_2]$
Ma sappiamo che $c_1+c_2=15$ e che $c_1*c_2=1$, quindi $c_1^3+c_2^3=15*(15^2-3*1)=15*(225-3)=15*222$
Quindi la soluzione è $2*(1+15*222)=2+2*15*222=2+30*222=2+6660=6662$
Prima un razzista del $\sqrt{13}$ e poi uno sfaticato dei conti... dove sta andando a finire il mondo...
Scherzi a parte, bella la tua soluzione!
Paola
Scherzi a parte, bella la tua soluzione!
Paola
"prime_number":
Prima un razzista del $\sqrt{13}$ e poi uno sfaticato dei conti... dove sta andando a finire il mondo...
Sì, è vero. C'è certa gente in giro. Razzisti e fannulloni 
"prime_number":Ti ringrazio
Scherzi a parte, bella la tua soluzione!
Stratosferico, ti ringrazio ancora una volta Gi 8 .
.
Prego Anzi, grazie a te che proponi sempre problemi interessanti e mai banali
Alla prossima
Anzi, grazie a te che proponi sempre problemi interessanti e mai banaliAlla prossima
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