Serie geometriche

[jacjac1991]

ciao a tutti
ho incominciato adesso a studiare le serie. Il mio problema riguarda la serie geometrica, assodato che il primo termine di una serie geometrica è =$1$ non riesco a calcolare la formula compatta ( e quindi anche la somma) della seguente serie geometrica:

$1/sqrt(2)+(sqrt(2))/2+(sqrt(2))/4+(sqrt(2))/8+(sqrt(2))/16+.........$

a partire dal secondo termine la ragione è =$2$ e quindi dal secondo termine sarei in grado di calcolare la formula compatta e la somma. Il mio problema è $1/sqrt(2)*2/sqrt(2)=1$ e non è la ragione della serie geometrica.

dove sbaglio?
grazie
jacjac

[franced]

"jacjac1991":
$1/sqrt(2)+(sqrt(2))/2+(sqrt(2))/4+(sqrt(2))/8+(sqrt(2))/16+.........$

Metti la radice di 2 in evidenza:

$1/sqrt(2)+(sqrt(2))/2+(sqrt(2))/4+(sqrt(2))/8+(sqrt(2))/16+.... = sqrt(2) * (1/2 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ....)$

Per quanto riguarda la parentesi abbiamo:

$1/2 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + .... = -1/2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...$

quindi, sapendo che

$1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 2$

trovi

$-1/2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = -1/2 + 2 = 3/2$ ;

abbiamo dunque che

$sqrt(2) * (1/2 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ....) = sqrt(2) * (3/2) = (3 sqrt(2))/2$ .

[jacjac1991]

grazie mille per la risposta e chiedo scusa per il ritardo ora ho da porre un'altra domanda:


il teorema della somma delle serie dice che se la serie somma è convergente non è obbligatorio che le due serie siano convergenti (il mio libro aggiunge in un esempio che una delle serie è divergente) su wikipedia il teorema della somma dice "Se le serie an e bn sono convergenti anche la somma delle due serie sarà convergente. Se una delle due serie diverge anche la somma delle serie sarà divergente." ho un attimo di confusione