Serie di esercizi per test di matematica
Salve,
a breve dovrò affrontare un test di matematica con vari esercizi, vi posto l'ultimo fatto e non superato per degli orrori che ho commesso e che me ne sono reso cnto dopo XD
Ora sto cercando di fare tutti gli esercizi, mi piacerebbe confrontarli con voi esperti così da avere la sicurezza di averli fatto bene:
a breve dovrò affrontare un test di matematica con vari esercizi, vi posto l'ultimo fatto e non superato per degli orrori che ho commesso e che me ne sono reso cnto dopo XD
Ora sto cercando di fare tutti gli esercizi, mi piacerebbe confrontarli con voi esperti così da avere la sicurezza di averli fatto bene:
1) x/(x-3)=3/(3-x) 2) √(3x-6)+ √(x+2)=2 3) Retta passante per il punto p(2 , 1) e perpendicolare alla retta x=3y? 4) Log(x+6)-log(x-2)=log(x-3) 5) e^(2x)-4e^x>0 6) |x^2 – 2x|=x-2 7) (x^2-3x+2)(3-2x)<=0
Risposte
Bene, comincia con il primo. Quali difficoltà incontri?
il primo mi viene come soluzione x=-3, credo sia giusto..anche perchè sostituendo è l'unico risultato che soddisfa l'identità!
anche per il secondo non dovrebbero esserci rpoblemi, mi viene x=2 dopo aver elevato tutto al quadrato per togliere le radici.
Il terzo non ho capito bene come tracciare la retta x=3y, cioè io sostituisco dei valori alla x e alla y, traccio la retta però su derive me la traccia in modo diverso!
Il quarto esercizio dopo aver aplicato la proprietà dei logaritmi (log(a9-log(b)=log(a/b)) l'unica soluzione per cui l'identità è soddisfatta è x=6.
Il quinto esercizio mi viene così:
L'equazione in valore assoluto mi fa sorgere qualche dubbio invece:
anche per il secondo non dovrebbero esserci rpoblemi, mi viene x=2 dopo aver elevato tutto al quadrato per togliere le radici.
Il terzo non ho capito bene come tracciare la retta x=3y, cioè io sostituisco dei valori alla x e alla y, traccio la retta però su derive me la traccia in modo diverso!
Il quarto esercizio dopo aver aplicato la proprietà dei logaritmi (log(a9-log(b)=log(a/b)) l'unica soluzione per cui l'identità è soddisfatta è x=6.
Il quinto esercizio mi viene così:
5) e^2x-4e^x>0 e^x--->t; t^2-4t>0 <=> t(t-4)>0 ricordandoci che t= e^x si ha che: e^x>0 sempre! & e^x>4<=> x>log4
L'equazione in valore assoluto mi fa sorgere qualche dubbio invece:
|x^2-2x|=x-2 x^2-2x=+-(x-2) 1 caso) x^2-3x+2=0, di cui le radici sono: x1=2 & x2=1 2 caso) x^2-x-2=0 di cui le radici sono x1=2 & x2=-1 Ora 1 e -1 sono incompatibili come soluzioni, quindi l'unica soluzione che vi è in comune è x=2, che soddisfa l'equazione!
Salve Luca.mat.
Innanzitutto, cerca di cominciare ad usare il MathML od il TeX per scrivere le formule.
Venendo agli esercizi: la soluzione del primo eseercizio è effettivamente [tex]x=-3[/tex], tuttavia non puoi dire che è l'unico valore che soddisfa l'identità per sostituzione perché i numeri reali sono infiniti quindi dovresti effettuare infinite sostituzioni. Invero, svolgendo quella equazione si ottiene [tex]x^{2}=9[/tex], da cui [tex]x=\pm3[/tex], ragione per cui dovresti spiegare perché [tex]x=3[/tex] non è accettabile.
Per l'esercizio sulla retta: in cosa differiscono?
Il quinto non è completo.
L'equazione col valore assoluto non ho capito come l'hai svolta.
Innanzitutto, cerca di cominciare ad usare il MathML od il TeX per scrivere le formule.
Venendo agli esercizi: la soluzione del primo eseercizio è effettivamente [tex]x=-3[/tex], tuttavia non puoi dire che è l'unico valore che soddisfa l'identità per sostituzione perché i numeri reali sono infiniti quindi dovresti effettuare infinite sostituzioni. Invero, svolgendo quella equazione si ottiene [tex]x^{2}=9[/tex], da cui [tex]x=\pm3[/tex], ragione per cui dovresti spiegare perché [tex]x=3[/tex] non è accettabile.
Per l'esercizio sulla retta: in cosa differiscono?
Il quinto non è completo.
L'equazione col valore assoluto non ho capito come l'hai svolta.
Salve a tutti!
Dunque Wizard per la prima equazione escludiamo 3, perchè i denominatori verrebbero zero, e non possiamo accettarlo, almeno per i numeri reali, quindi ci resta solo x=-3, che è accettabile!
L'esercizio della retta, l'ho svolto, però non sono sicuro sia corretto, il dubbio è se ho tracciato la retta x=3y in modo corretto:
http://yfrog.com/9hscansione0004wj
Il quinto, come mai non è completo?
poi per il valore assoluto effettivamente ho usato un metodo un pò strano XD
cerco di spiegarlo:
ho valutato i casi in cui il valore assoluto assumeva i due valori (+-), ho svolto le due equazioni sostituendo una volta il valore con segno - e una volta quello con il segno +, mi venivano entrambi due equazioni di secondo grado, trovando le radici la soluzione comune era x=2, poi ho pensato di non portare x=1 e x=-1 poichè incompatibili se univo le due soluzioni, di conseguenza mi rimaneva solo x=2!
Dunque Wizard per la prima equazione escludiamo 3, perchè i denominatori verrebbero zero, e non possiamo accettarlo, almeno per i numeri reali, quindi ci resta solo x=-3, che è accettabile!
L'esercizio della retta, l'ho svolto, però non sono sicuro sia corretto, il dubbio è se ho tracciato la retta x=3y in modo corretto:
http://yfrog.com/9hscansione0004wj
Il quinto, come mai non è completo?
poi per il valore assoluto effettivamente ho usato un metodo un pò strano XD
cerco di spiegarlo:
ho valutato i casi in cui il valore assoluto assumeva i due valori (+-), ho svolto le due equazioni sostituendo una volta il valore con segno - e una volta quello con il segno +, mi venivano entrambi due equazioni di secondo grado, trovando le radici la soluzione comune era x=2, poi ho pensato di non portare x=1 e x=-1 poichè incompatibili se univo le due soluzioni, di conseguenza mi rimaneva solo x=2!
Va bene il primo e quello sulla retta.
Il quinto non è completo perché tu arrivi al punto in cui hai da valutare [tex]t(t-4)>0[/tex]: questo punto effettui la sostituzione inversa ed hai da valutare [tex]e^{x}(e^{x}-4)>0[/tex]. Giustamente dici che [tex]e^{x}>0[/tex] è sempre verificato e [tex]e^{x}-4>0 \iff x>\ln 4[/tex], ma a qeusto punto non si capisce quali siano le soluzioni della disequazione iniziale. Quali sono? Tutti i numeri reali? Solo i valori [tex]>\ln 4[/tex]? Non occorre vedere come si comprta il segno del prodotto [tex]e^{x}(e^{x}-4)[/tex] al variare dei segni dei sui singoli fattori? Se sì, perché, se no, perché.
L'equazione col valore assoluto è invece svolta male: perché dici che [tex]-1[/tex] e [tex]1[/tex] sono incompatibili? Incopatibili tra loro o rispetto a cos'altro? E perché dici che [tex]x=2[/tex] è accettabile perché è in comune? In comune tra chi? In generale, data una equazione [tex]\lvert f(x) \rvert = g(x)[/tex], per risolverla devi prima stabile quando [tex]f(x)\geqslant0[/tex] e quando [tex]f(x)<0[/tex], quindi devi risolvere i due sistemi misti
[tex]\begin{cases}
&f(x)\geqslant0\\
&f(x)=g(x)
\end{cases}[/tex]
e
[tex]\begin{cases}
& f(x)<0\\
& -f(x)=g(x)
\end{cases}[/tex]
e le soluzioni dell'equazione iniziale saranno quelle dei due sistemi messe assieme.
Il quinto non è completo perché tu arrivi al punto in cui hai da valutare [tex]t(t-4)>0[/tex]: questo punto effettui la sostituzione inversa ed hai da valutare [tex]e^{x}(e^{x}-4)>0[/tex]. Giustamente dici che [tex]e^{x}>0[/tex] è sempre verificato e [tex]e^{x}-4>0 \iff x>\ln 4[/tex], ma a qeusto punto non si capisce quali siano le soluzioni della disequazione iniziale. Quali sono? Tutti i numeri reali? Solo i valori [tex]>\ln 4[/tex]? Non occorre vedere come si comprta il segno del prodotto [tex]e^{x}(e^{x}-4)[/tex] al variare dei segni dei sui singoli fattori? Se sì, perché, se no, perché.
L'equazione col valore assoluto è invece svolta male: perché dici che [tex]-1[/tex] e [tex]1[/tex] sono incompatibili? Incopatibili tra loro o rispetto a cos'altro? E perché dici che [tex]x=2[/tex] è accettabile perché è in comune? In comune tra chi? In generale, data una equazione [tex]\lvert f(x) \rvert = g(x)[/tex], per risolverla devi prima stabile quando [tex]f(x)\geqslant0[/tex] e quando [tex]f(x)<0[/tex], quindi devi risolvere i due sistemi misti
[tex]\begin{cases}
&f(x)\geqslant0\\
&f(x)=g(x)
\end{cases}[/tex]
e
[tex]\begin{cases}
& f(x)<0\\
& -f(x)=g(x)
\end{cases}[/tex]
e le soluzioni dell'equazione iniziale saranno quelle dei due sistemi messe assieme.
per il quinto esercizio:
credo che posiamo affermare che l'equazione è soddisfatta per tutti i valori di $x>log4$, trascurando il segno in quanto ci verrebbe comunque sempre positivo!
Per l'equazione in valore assoluto ho provato a farlo, l'unica soluzione che resta è $x=2$ , che è la soluzione totale!
1)http://yfrog.com/j2scansione0004qsj
Spero di non aver fatto i soliti orrori!
credo che posiamo affermare che l'equazione è soddisfatta per tutti i valori di $x>log4$, trascurando il segno in quanto ci verrebbe comunque sempre positivo!
Per l'equazione in valore assoluto ho provato a farlo, l'unica soluzione che resta è $x=2$ , che è la soluzione totale!
1)http://yfrog.com/j2scansione0004qsj
Spero di non aver fatto i soliti orrori!
Nel risolvere l'equazione col valore assoluto ti sei portato dietro l'errore commesso nel risolvere il quinto esercizio, ergo, con calma, ripartiamo da questo: hai da stabile quali sono le soluzioni di [tex]t(t-4)>0[/tex] e supponiamo per un attimo che non ci sia la sostituzione dietro. Quando hai a che fare con una disequazione in cui il polinomio a sinistra è scomposto in un prodotto devi studiare separatamente i segni dei fattori che lo compongono e poi vedere quando i segni sono concordi, per ottenre la positività del polinomio, e quando sono discordi, per ottenre la negatività del polinomio, e scegliere il primo caso od il secondo a seconda che sia rispettivamente [tex]>0[/tex] e [tex]<0[/tex] nella traccia della disequazione.
Ovvero: data [tex]t(t-4)>0[/tex] io noto che [tex]t>0[/tex] resta com'è, e [tex]t-4>0[/tex] diventa [tex]t>4[/tex]. Allora mi facciouna tabella cone tre rette reali, sulla prima riporto i segni di [tex]t>0[/tex], sulla seconda quelli di [tex]t>4[/tex] e sulla terza quelli del loro prodotto, ovvero
qundi noto che il prodotto è positivo per [tex]t<0[/tex] oppure per [tex]t>4[/tex] e queste sono le soluzioni, se non ci fosse la sostituzione, in ragione della quale non è possibile accettare [tex]t<0[/tex] perché altrimenti sarebbe [tex]e^{x}<0[/tex].
Rifai quello sui moduli.
Ovvero: data [tex]t(t-4)>0[/tex] io noto che [tex]t>0[/tex] resta com'è, e [tex]t-4>0[/tex] diventa [tex]t>4[/tex]. Allora mi facciouna tabella cone tre rette reali, sulla prima riporto i segni di [tex]t>0[/tex], sulla seconda quelli di [tex]t>4[/tex] e sulla terza quelli del loro prodotto, ovvero
qundi noto che il prodotto è positivo per [tex]t<0[/tex] oppure per [tex]t>4[/tex] e queste sono le soluzioni, se non ci fosse la sostituzione, in ragione della quale non è possibile accettare [tex]t<0[/tex] perché altrimenti sarebbe [tex]e^{x}<0[/tex].
Rifai quello sui moduli.
Si è vero, non lo avevo considerato 
Per l'equazione in valore assoluto mi viene sempre la stessa cosa, forse sbaglio nella regola dei segni, però apparentemente mi sembra giusto, non capisco dov'è l'errore
http://yfrog.com/6dscansione0004ej
Per l'equazione in valore assoluto mi viene sempre la stessa cosa, forse sbaglio nella regola dei segni, però apparentemente mi sembra giusto, non capisco dov'è l'errore
http://yfrog.com/6dscansione0004ej
OK. Tutto bene.
Grazie mille, mi sento più sicuro ora, grazie 
Prego.
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