Serie convergenza

[insule23]

salve avrei bisogno del vostro aiuto con la convergenza della seguente serie:

[math]\sum_{n=1}^{\infty }\left ( \sqrt{1+sin\frac{1}{k}}-1 \right )\cdot \left ( 1-e^{-\frac{1}{k}} \right )[/math]

abbiamo a che fare con una serie a termini positivi per la quale
applichiamo subito la condizione necessaria ovvero il limite (n=>∞)

[math]an=\lim_{n \to\infty }\left( \sqrt{1+sin\frac{1}{n}}-1 \right )\cdot \left ( 1-e^{-\frac{1}{n}} \right )=0[/math]

pertanto la condizione necessaria vale


non sò come continuare..
se mi potete aiutare..
grazie..

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Dunque, vogliamo studiare il carattere della seguente serie numerica:

[math]\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \; \; \; \; \; \; dove: \; a_n := \left(\sqrt{1+\sin\frac{1}{n}}-1\right)\left(1-e^{-\frac{1}{n}}\right) \; . \end{aligned}\\[/math]

Notando che

[math]\begin{aligned} \lim_{n\to \infty} a_n = 0 \end{aligned}[/math]

, ossia che la successione

[math]a_n[/math]

è infinitesima, siamo
almeno certi che la condizione necessaria per la convergenza di tale serie è verificata.

A questo punto, trattandosi di una serie a termini di segno non negativo possiamo
applicare, ad esempio, il criterio del confronto (o di Gauss). In particolare, si ha

[math]\begin{aligned} a_n \le \left[\left(1+\frac{1}{2n}\right)-1\right]\left[1-\left(1-\frac{1}{n}\right)\right] = \frac{1}{2}\frac{1}{n^2}\end{aligned}\\[/math]

da cui si deduce che la serie in esame converge. :)

[insule23]

Come hai fatto la maggiorazione...
Se me lo potresti spiegare meglio...
Grazie

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Ricordando i seguenti sviluppi in serie di Taylor per

[math]\small x\to 0[/math]

:

[math]\sin x \sim x\,, \; \; \; \sqrt[a]{1 + x} \sim 1 + \frac{x}{a}\,, \; \; \; e^x \sim 1+x\,;[/math]

ponendo una sostituzione del tipo

[math]\small x = \frac{1}{t}[/math]

per

[math]\small t\to \infty[/math]

si ha:

[math]\sin \frac{1}{t} \sim \frac{1}{t}\,, \; \; \; \sqrt[a]{1 + \frac{1}{t}} \sim 1 + \frac{1}{a\,t}\,, \; \; \; e^{\frac{1}{t}} \sim 1+\frac{1}{t}\,;[/math]

e quindi, in definitiva, segue che per

[math]\small n \to \infty[/math]

possiamo scrivere:

[math]\sqrt{1+\sin\frac{1}{n}}\sim 1+\frac{1}{2n}\,, \; \; \; e^{-\frac{1}{n}}\sim 1-\frac{1}{n}\,.\\[/math]

Ecco, una volta riusciti a scrivere gli sviluppi asintotici dei vari fattori
non è difficile convincersi che vale la disuguaglianza di cui sopra.
Ti pare chiaro come ragionamento? :)

[insule23]

no perchè non ho studiato gli sviluppi di taylor...
me lo potresti spiegare in un'altro modo..
spero che tu mi riesca ad aiutare..
grazie..

[ciampax]

Veramente, più che di sviluppi di Taylor, TeM sta facendo un confronto locale per infinitesimi, in modo da poter utilizzare il teorema del confronto, e queste cose dovresti conoscerle.