Senx-cosx
Perchè
$senx-cosx= sqrt(2) sen(x-(\pi)/4)$
$senx-cosx= sqrt(2) sen(x-(\pi)/4)$
Risposte
Perchè se applichi la formula di sottrazione del seno ottieni:
$sqrt(2)sin(x-pi/4)=sqrt(2)(sinx*cos(pi/4)-cosx*sin(pi/4))=sqrt(2)*sinx*sqrt(2)/2-sqrt(2)*cosx*sqrt(2)/2=$
$=sinx-cosx$
Ti torna?
$sqrt(2)sin(x-pi/4)=sqrt(2)(sinx*cos(pi/4)-cosx*sin(pi/4))=sqrt(2)*sinx*sqrt(2)/2-sqrt(2)*cosx*sqrt(2)/2=$
$=sinx-cosx$
Ti torna?
no, non ho capito da
$senx-cosx$
come ottengo quel risultato?
$senx-cosx$
come ottengo quel risultato?
Non lo so. A partire da $sinx-cosx$ potresti prendere mille strade per sviluppare l'espressione, se non sai dove devi andare a finire non sai quale scegliere.
"burm87":
Non lo so. A partire da $sinx-cosx$ potresti prendere mille strade per sviluppare l'espressione, se non sai dove devi andare a finire non sai quale scegliere.
per ottenere quel risultato partendo da $sinx-cosx$ che passaggi devo fare?
Lo ottieni andando all'indietro nei conti fatti da burm87 
. Il simbolo di $=$ funziona in entrambe le direzioni eh!
Paola
. Il simbolo di $=$ funziona in entrambe le direzioni eh!Paola
"Pigreco93":
[quote="burm87"]Non lo so. A partire da $sinx-cosx$ potresti prendere mille strade per sviluppare l'espressione, se non sai dove devi andare a finire non sai quale scegliere.
per ottenere quel risultato partendo da $sinx-cosx$ che passaggi devo fare?[/quote]
$sinx-cosx=sqrt(2)*sinx*sqrt(2)/2-sqrt(2)*cosx*sqrt(2)/2=sqrt(2)(sinx*cos(pi/4)-cosx*sin(pi/4))=$
$=sqrt(2)sin(x-pi/4)$
$sinx-cosx=sqrt(2)*sinx*sqrt(2)/2-sqrt(2)*cosx*sqrt(2)/2$ come ricavi le varie $sqrt(2)$?
la spiegazione non mi è chiara
la spiegazione non mi è chiara
La strada indicata da burm87 è corretta, basta moltiplicare e dividere per $sqrt{2}$ e ottieni un'espressione che puoi ricondurre al seno di una differenza.
"Pigreco93":
$sinx-cosx=sqrt(2)*sinx*sqrt(2)/2-sqrt(2)*cosx*sqrt(2)/2$ come ricavi le varie $sqrt(2)$?
la spiegazione non mi è chiara
Non le ricavo, moltiplicare per $sqrt(2)*(sqrt(2)/2)$ equivale a moltiplicare per 1, quindi ti lascia l'espressione invariata, ma ti mette in evidenza la possibilità di usare la formula della differenza del seno (al contrario).
Se ti stai chiendendo perchè mi è venuto in mente di moltiplicare proprio per quello, la risposta è che non lo so. Infatti, come ti dicevo prima, se non conosci il risultato a cui devi arrivare è dura..
il mio dubbio nasce da questo
Sinceramente non avrei mai fatto una cosa del genere. Avrei semplicemente detto che quella funzione è il rapporto tra una quantità comunque limitata e una che tende all'infinito, quindi il limite fa $0$. Fine. 
Concordo con minomic: quel limite poteva essere calcolato molto più rapidamente. In altri esercizi però la formula in questione può essere utile e, anche se le dimostrazioni che ti sono state date sono indubbiamente le più veloci, capisco che tu ti chieda "Come hanno fatto a farsele venire in mente?".
C'è un metodo possibile ogni volta che si ha una formula del tipo $asenx+ b cosx$ ma comodo solo quando $a/b$ (senza badare ad ordine o segno) è la tangente di un angolo speciale: si mette in evidenza $sqrt(a^2+b^2)$. Per illustrarlo svolgo anche un altro esercizio.
$sinx-cosx=sqrt2(1/sqrt2senx-1/sqrt2cosx)=sqrt2(c ospi/4senx-senpi/4cosx)=sqrt2sen(x-pi/4)$
$senx+sqrt3cosx=2(1/2senx+sqrt3/2cosx)=2(c ospi/3senx+senpi/3c osx)=2sen(x+pi/3)$
Questo metodo è molto usato nella soluzione delle equazioni goniometriche lineari; ti conviene ripassarle.
C'è un metodo possibile ogni volta che si ha una formula del tipo $asenx+ b cosx$ ma comodo solo quando $a/b$ (senza badare ad ordine o segno) è la tangente di un angolo speciale: si mette in evidenza $sqrt(a^2+b^2)$. Per illustrarlo svolgo anche un altro esercizio.
$sinx-cosx=sqrt2(1/sqrt2senx-1/sqrt2cosx)=sqrt2(c ospi/4senx-senpi/4cosx)=sqrt2sen(x-pi/4)$
$senx+sqrt3cosx=2(1/2senx+sqrt3/2cosx)=2(c ospi/3senx+senpi/3c osx)=2sen(x+pi/3)$
Questo metodo è molto usato nella soluzione delle equazioni goniometriche lineari; ti conviene ripassarle.
"minomic":
Sinceramente non avrei mai fatto una cosa del genere. Avrei semplicemente detto che quella funzione è il rapporto tra una quantità comunque limitata e una che tende all'infinito, quindi il limite fa $0$. Fine.
si concordo,però il libro dice di individuare la risposta corretta e darne un'esauriente spegazione
ecco il continuo
"giammaria":
Concordo con minomic: quel limite poteva essere calcolato molto più rapidamente. In altri esercizi però la formula in questione può essere utile e, anche se le dimostrazioni che ti sono state date sono indubbiamente le più veloci, capisco che tu ti chieda "Come hanno fatto a farsele venire in mente?".
C'è un metodo possibile ogni volta che si ha una formula del tipo $asenx+ b cosx$ ma comodo solo quando $a/b$ (senza badare ad ordine o segno) è la tangente di un angolo speciale: si mette in evidenza $sqrt(a^2+b^2)$. Per illustrarlo svolgo anche un altro esercizio.
$sinx-cosx=sqrt2(1/sqrt2senx-1/sqrt2cosx)=sqrt2(c ospi/4senx-senpi/4cosx)=sqrt2sen(x-pi/4)$
$senx+sqrt3cosx=2(1/2senx+sqrt3/2cosx)=2(c ospi/3senx+senpi/3c osx)=2sen(x+pi/3)$
Questo metodo è molto usato nella soluzione delle equazioni goniometriche lineari; ti conviene ripassarle.
ok grazie
purtroppo questo metodo non lo conoscevo..
Perché affidarsi solo ad ardite ( ) manipolazioni ? Esistono anche le formule di prostaferesi :
$\sinp-\sinq=2\sin((p-q)/2)\cos((p+q)/2)$
Nel caso nostro è :
$\sinx-\cosx=\sinx-\sin(\pi/2-x)=2\sin((x-(\pi/2-x))/2)\cos((x+(\pi/2-x))/2)=$
$=2\sin(x-\pi/4)\cos(\pi/4)=\sqrt2\sin(x-\pi/4)$
) manipolazioni ? Esistono anche le formule di prostaferesi :$\sinp-\sinq=2\sin((p-q)/2)\cos((p+q)/2)$
Nel caso nostro è :
$\sinx-\cosx=\sinx-\sin(\pi/2-x)=2\sin((x-(\pi/2-x))/2)\cos((x+(\pi/2-x))/2)=$
$=2\sin(x-\pi/4)\cos(\pi/4)=\sqrt2\sin(x-\pi/4)$
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