Sempre probabilità
1)
Un'urna contiene 15 palline di cui 1 nera, 5 bianche e 9 rosse. Si estraggono contemporaneamente 3 palline dall'urna. Valutare la probabilità dei seguenti eventi:
a) tra le palline estratte figurano la nera e almeno una rossa
b)escono tre palline di colorre diverso
c)escono tre palline di colorre diverso sapendo che sono già uscite la nera e uan rossa.
2)In una scatola ci sono 5 lampadine di cui 2 sono bruciate. Qual è la probabilità che il procedimento abbia termine dopo avere esaminato 3 lampadine?
Un'urna contiene 15 palline di cui 1 nera, 5 bianche e 9 rosse. Si estraggono contemporaneamente 3 palline dall'urna. Valutare la probabilità dei seguenti eventi:
a) tra le palline estratte figurano la nera e almeno una rossa
b)escono tre palline di colorre diverso
c)escono tre palline di colorre diverso sapendo che sono già uscite la nera e uan rossa.
2)In una scatola ci sono 5 lampadine di cui 2 sono bruciate. Qual è la probabilità che il procedimento abbia termine dopo avere esaminato 3 lampadine?
Risposte
Per i punti a e b, il denominatore sarà $((15),(3))$, perchè si estraggono tre palline da un gruppo di 15 e non conta l'ordine (infatti sono estratte contemporaneamente).
a: A numeratore, $((1),(1))(((9),(2))+((9),(1))((5),(1)))$
Cioè l'estrazione della nera, poi l'estrazione o delle due rosse, o di una rossa e una bianca.
b: A numeratore, $((1),(1))((9),(1))((5),(1))$
Cioè l'estrazione di una pallina per tipo.
c: Banalmente, 5/13. Oppure, con la probabilità condizionale, ma è decisamente più lungo...
Nel secondo esercizio, di che procedimento parli?
a: A numeratore, $((1),(1))(((9),(2))+((9),(1))((5),(1)))$
Cioè l'estrazione della nera, poi l'estrazione o delle due rosse, o di una rossa e una bianca.
b: A numeratore, $((1),(1))((9),(1))((5),(1))$
Cioè l'estrazione di una pallina per tipo.
c: Banalmente, 5/13. Oppure, con la probabilità condizionale, ma è decisamente più lungo...
Nel secondo esercizio, di che procedimento parli?
"cheguevilla":
Nel secondo esercizio, di che procedimento parli?
Del procedimento di prendere in mano una lampadian e metterla da parte se è bruciata
"cheguevilla":
Per i punti a e b, il denominatore sarà $((15),(3))$, perchè si estraggono tre palline da un gruppo di 15 e non conta l'ordine (infatti sono estratte contemporaneamente).
a: A numeratore, $((1),(1))(((9),(2))+((9),(1))((5),(1)))$
Cioè l'estrazione della nera, poi l'estrazione o delle due rosse, o di una rossa e una bianca.
b: A numeratore, $((1),(1))((9),(1))((5),(1))$
Cioè l'estrazione di una pallina per tipo.
c: Banalmente, 5/13. Oppure, con la probabilità condizionale, ma è decisamente più lungo...
Nel secondo esercizio, di che procedimento parli?
Dei 3 solo l'ultimo hai fatto come me...sarà sbagliato il risultato del libro.... Gli altri invece corrispondono con il libro.
Si, ho capito dove ho sbagliato.
E' una cosa concettuale.
L'estrazione avviene contemporaneamente, quindi il fatto che siano già uscite la nera e una rossa, non modifica lo spazio degli eventi. La cosa è un attimo delicata, ma non si può risolvere banalmente come ho fatto io.
Questo perchè, ragionando come ho fatto io, si assumerebbe che quella che deve essere svolta sia l'ultima estrazione. Questo non è vero perchè le estrazioni vengono fatte contemporaneamente. Che equivale a svolgere le estrazioni in seguito, ma senza tenere conto dell'ordine. Cioè, nel caso di estrazione contemporanea di 3 palline, dire "sapendo che sono già uscite la nera e una rossa", equivale a dire "sapendo che usciranno la nera e una rossa".
In pratica, bisogna prendere le probabilità di ottenere tre palline di colore diverso e dividere per la probabilità di ottenere la nera e almeno una rossa.
Ovvero, la soluzione del punto b fratto la soluzione del punto a.
Se non sono stato chiaro, dimmelo pure che provo a spiegarlo meglio,
Punto 2:
Corrisponde alla probabilità di ottenere 1 successo nelle prime due estrazioni e un successo nella terza.
Però, per comodità, ci conviene pensare alla probabilità di ottenere 2 successi su tre estrazioni, meno la probabilità di ottenere due successi su due estrazioni, perchè in questo caso il processo si arresterebbe alla seconda estrazione e non alla terza.
Quindi: $(((2),(2))((3),(1)))/((5),(3))-((2),(2))/((5),(2))$
E' una cosa concettuale.
L'estrazione avviene contemporaneamente, quindi il fatto che siano già uscite la nera e una rossa, non modifica lo spazio degli eventi. La cosa è un attimo delicata, ma non si può risolvere banalmente come ho fatto io.
Questo perchè, ragionando come ho fatto io, si assumerebbe che quella che deve essere svolta sia l'ultima estrazione. Questo non è vero perchè le estrazioni vengono fatte contemporaneamente. Che equivale a svolgere le estrazioni in seguito, ma senza tenere conto dell'ordine. Cioè, nel caso di estrazione contemporanea di 3 palline, dire "sapendo che sono già uscite la nera e una rossa", equivale a dire "sapendo che usciranno la nera e una rossa".
In pratica, bisogna prendere le probabilità di ottenere tre palline di colore diverso e dividere per la probabilità di ottenere la nera e almeno una rossa.
Ovvero, la soluzione del punto b fratto la soluzione del punto a.
Se non sono stato chiaro, dimmelo pure che provo a spiegarlo meglio,
Punto 2:
Corrisponde alla probabilità di ottenere 1 successo nelle prime due estrazioni e un successo nella terza.
Però, per comodità, ci conviene pensare alla probabilità di ottenere 2 successi su tre estrazioni, meno la probabilità di ottenere due successi su due estrazioni, perchè in questo caso il processo si arresterebbe alla seconda estrazione e non alla terza.
Quindi: $(((2),(2))((3),(1)))/((5),(3))-((2),(2))/((5),(2))$
punto 1)
A dire il vero nn l'ho capito, anche se credo ke l'hai spiegato molto bene, perchè occorre fare la divisione. Se non ti secca puoi cercare di farmelo capire?
putno 2)
Forse l'ho capito.. poi ci ritorno
GRAZIE DI TUTTO CHE....LO SO KE SONO UN CASO DISPERATO
A dire il vero nn l'ho capito, anche se credo ke l'hai spiegato molto bene, perchè occorre fare la divisione. Se non ti secca puoi cercare di farmelo capire?
putno 2)
Forse l'ho capito.. poi ci ritorno
GRAZIE DI TUTTO CHE....LO SO KE SONO UN CASO DISPERATO
No problem.
Se infili la mano nel sacchetto e prendi tre palline, tra quante palline puoi scegliere? Risposta: 15.
Il primo ragionamento che abbiamo fatto andrebbe bene se si estraessero tre palline una dopo l'altra.
Cioè, sapere quali siano state le prime due estratte modifica lo spazio campionario.
Però, al momento dell'estrazione, lo spazio campionario non è modificato.
Qui conta il concetto di ordine.
Il nostro ragionamento iniziale presupponeva che la pallina "incognita" fosse una ben precisa. Ma non è così.
Tu ne hai pescate 3, e di queste tre ne hai pescata una.
Che è diverso dire pesco tre palline e di queste prendo la prima.
Infatti il testo non dice "le prime due sono la nera e una rossa". Questo perchè intende proprio che l'ordine è indifferente.
In generale, la probabilità condizionata è data dal rapporto tra la probabilità dell'evento incondizionato e la probabilità dell'evento condizionante.
Esempio:
Hai un dado: qual'è la probabilità di ottenere un 6? $1/6$.
Hai un dado truccato, che fa uscire solo numeri pari. Qual'è la probabilità di ottenere un 6?
Prima lo spazio campionario era dato da tutti i sei numeri, mentre ora è limitato da un evento condizionante che lo riduce ai soli numeri pari. Quindi $p=1/3$
Secondo la legge della probabilità condizionale: $p(A|B)=(p(A and B))/(p(B))$
Cioè, la probabilità che si verifichi l'evento A, sapendo che si è verificato l'evento B, è data dalla probabilità che si siano verificati contemporaneamente gli eventi A e B diviso la probabilità che si sia verificato l'evento B.
Nel nostro esempio: probabilità di ottenere un 6 diviso probabilità di ottenere un numero pari. $p(x=6|x_(pari))(1/6)/(1/2)=1/3$.
Nel caso dell'esercizio che hai proposto, A corrisponde all'evento "Tre palline di colore diverso", B corrisponde a "una nera, una rossa e una di un altro colore".
Meglio?
Se hai dubbi, chiedi.
EDIT: corretta formula
Se infili la mano nel sacchetto e prendi tre palline, tra quante palline puoi scegliere? Risposta: 15.
Il primo ragionamento che abbiamo fatto andrebbe bene se si estraessero tre palline una dopo l'altra.
Cioè, sapere quali siano state le prime due estratte modifica lo spazio campionario.
Però, al momento dell'estrazione, lo spazio campionario non è modificato.
Qui conta il concetto di ordine.
Il nostro ragionamento iniziale presupponeva che la pallina "incognita" fosse una ben precisa. Ma non è così.
Tu ne hai pescate 3, e di queste tre ne hai pescata una.
Che è diverso dire pesco tre palline e di queste prendo la prima.
Infatti il testo non dice "le prime due sono la nera e una rossa". Questo perchè intende proprio che l'ordine è indifferente.
In generale, la probabilità condizionata è data dal rapporto tra la probabilità dell'evento incondizionato e la probabilità dell'evento condizionante.
Esempio:
Hai un dado: qual'è la probabilità di ottenere un 6? $1/6$.
Hai un dado truccato, che fa uscire solo numeri pari. Qual'è la probabilità di ottenere un 6?
Prima lo spazio campionario era dato da tutti i sei numeri, mentre ora è limitato da un evento condizionante che lo riduce ai soli numeri pari. Quindi $p=1/3$
Secondo la legge della probabilità condizionale: $p(A|B)=(p(A and B))/(p(B))$
Cioè, la probabilità che si verifichi l'evento A, sapendo che si è verificato l'evento B, è data dalla probabilità che si siano verificati contemporaneamente gli eventi A e B diviso la probabilità che si sia verificato l'evento B.
Nel nostro esempio: probabilità di ottenere un 6 diviso probabilità di ottenere un numero pari. $p(x=6|x_(pari))(1/6)/(1/2)=1/3$.
Nel caso dell'esercizio che hai proposto, A corrisponde all'evento "Tre palline di colore diverso", B corrisponde a "una nera, una rossa e una di un altro colore".
Meglio?
Se hai dubbi, chiedi.
EDIT: corretta formula
Grazie mille... Sei stato davvero molto chiaro.... Stavolta credo di aver capito..
Grazie ancora... alla prossima
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