Semplificazione di una funzione per il calcolo dei massimi e minimi
Ho trovato nel forum questa funzione $((2 - x)^(1/3)) * (x - 1)^(-1)$ e ho calcolato la derivata seconda per trovare i massimi e i minimi..
ho ottenuto: $((1/3 root(3)(1/x^2) * (x - 1) - root(3)(2 - x))/ (x - 1)^2) > 0$
Come faccio a semplificarlo in modo da studiarmi massimi e i minimi?
ho ottenuto: $((1/3 root(3)(1/x^2) * (x - 1) - root(3)(2 - x))/ (x - 1)^2) > 0$
Come faccio a semplificarlo in modo da studiarmi massimi e i minimi?
Risposte
per trovare i punti stazionari devi annullare la derivata prima e studiare il segno di quella
ad occhio però non mi sembra corretta la tua derivata seconda.. dove sono tutte le radici terze?
ad occhio però non mi sembra corretta la tua derivata seconda.. dove sono tutte le radici terze?
A me sembra giusta, ho fatto la derivata del rapporto.. non capisco i miei errori..
poi ho trattato $(2 - x)^(1/3) con la derivata composta..
poi ho trattato $(2 - x)^(1/3) con la derivata composta..
prova a postare i conti se ti va. altrimenti se credi di essere sicuro al 100% niente!
comunque per trovare i punti stazionari serve la derivata prima e non seconda.
comunque per trovare i punti stazionari serve la derivata prima e non seconda.
$f(x) = root(3)(2 - x)/(x - 1)$
$( 2 - x )^(1/3)$ quindi faccio la derivata composta:
$2 - x = t$ --> $t^(1/3)$
quindi $1/3 x^(-2/3) * 1$, di conseguenza $1/3 root(3)(1/x^2)$
quindi la derivata del rapporto diventa cosi:
$((-1/3 root(3)((2 - x)^-2) * (x - 1) - root(3)(2 - x))/ (x - 1)^2) > 0$
$( 2 - x )^(1/3)$ quindi faccio la derivata composta:
$2 - x = t$ --> $t^(1/3)$
quindi $1/3 x^(-2/3) * 1$, di conseguenza $1/3 root(3)(1/x^2)$
quindi la derivata del rapporto diventa cosi:
$((-1/3 root(3)((2 - x)^-2) * (x - 1) - root(3)(2 - x))/ (x - 1)^2) > 0$
A me risulta
$f'_(x)=(5root(3)(-x+2) -2xroot(3)(-x+2))/(3x^3 -12x^2 +15x-6)$
in cui, per
$x≠1$
e raccogliendo al numeratore
$root(3)(-x+2) $
gli zeri sono
$x=2$
e
$x=5/2$
Attenzione: non è detto che siano entrambi ascisse di un massimo o di un minimo.............anzi...........una non lo è!
$f'_(x)=(5root(3)(-x+2) -2xroot(3)(-x+2))/(3x^3 -12x^2 +15x-6)$
in cui, per
$x≠1$
e raccogliendo al numeratore
$root(3)(-x+2) $
gli zeri sono
$x=2$
e
$x=5/2$
Attenzione: non è detto che siano entrambi ascisse di un massimo o di un minimo.............anzi...........una non lo è!
La derivata seconda, già semplificata, mi risulta
$y''(x)=(2root(3)(-x+2)(5x^2 -25x+29))/(9(x-2)^2 (x-1)^3)$
che esiste per
$ x≠1 $
e
$ x≠2$
e i cui zeri sono
$x=2$ non accettabile
e
$x=(25+-3\sqrt5)/10$
$y''(x)=(2root(3)(-x+2)(5x^2 -25x+29))/(9(x-2)^2 (x-1)^3)$
che esiste per
$ x≠1 $
e
$ x≠2$
e i cui zeri sono
$x=2$ non accettabile
e
$x=(25+-3\sqrt5)/10$
@carmeluccio... due osservazioni:
1. quella che hai calcolato allora è la derivata prima e non seconda. se vuoi la seconda devi riderivare il risultato che hai appena trovato
2. adesso mi sembra giusta, ma vorrei farti notare come le due espressioni che hai scritto siano diverse tra loro. nella prima (il primo messaggio) hai sbagliato la prima radice terza.
per rispondere adesso alla tua domanda sul come semplificare per fare i conti... puoi sommare il numeratore e vedrai che ti si semplifica notevolmente.
@teorema55
non vorrei dire ma secondo me non è corretta la derivata prima che hai calcolato. non mi sembra di vedere il termine $1/(root(3)((2-x)^2))$
ma potrei anche sbagliarmi..
a me la derivata esce: $(2x-5)/(3root(3)((2-x)^2)(x-1)^2)$
1. quella che hai calcolato allora è la derivata prima e non seconda. se vuoi la seconda devi riderivare il risultato che hai appena trovato
2. adesso mi sembra giusta, ma vorrei farti notare come le due espressioni che hai scritto siano diverse tra loro. nella prima (il primo messaggio) hai sbagliato la prima radice terza.
per rispondere adesso alla tua domanda sul come semplificare per fare i conti... puoi sommare il numeratore e vedrai che ti si semplifica notevolmente.
@teorema55
non vorrei dire ma secondo me non è corretta la derivata prima che hai calcolato. non mi sembra di vedere il termine $1/(root(3)((2-x)^2))$
ma potrei anche sbagliarmi..
a me la derivata esce: $(2x-5)/(3root(3)((2-x)^2)(x-1)^2)$
@cooper
Prima mi sono sbagliato, io intendevo la derivata prima per trovare i massimi e i minimi..
Però non capisco come faccio dalla mia espressione a giugnere al tuo risultato.. come faccio a sommare, non mi sembra sia possibile. Il numeratore mi sembra abbastanza complicato per riuscirlo a semplificare ancora di più..
Prima mi sono sbagliato, io intendevo la derivata prima per trovare i massimi e i minimi..
Però non capisco come faccio dalla mia espressione a giugnere al tuo risultato.. come faccio a sommare, non mi sembra sia possibile. Il numeratore mi sembra abbastanza complicato per riuscirlo a semplificare ancora di più..
$-1/3(x-1)/(root(3)((2-x)^2))-root(3)(2-x)=(-(x-1)-3(2-x))/(3root(3)((2-x)^2))=(2x-5)/(3root(3)((2-x)^2))$
Però se noti, nella mia espressione è presente anche $(x - 1)^2$ al denominatore. Ma in questo caso sembrerebbe che non lo tieni in considerazione..
"cooper":
@teorema55
non vorrei dire ma secondo me non è corretta la derivata prima che hai calcolato.
a me la derivata esce: $(2x-5)/(3root(3)((2-x)^2)(x-1)^2)$
che è esattamente identica alla mia, basta qualche passaggio per verificarlo.
Solo, ho dimenticato di inserire
$ x≠2 $
nelle condizioni.
"teorema55":
che è esattamente identica alla mia, basta qualche passaggio per verificarlo.
allora mi scuso per la svista!
"Carmeluccio":
Però se noti, nella mia espressione è presente anche (x−1)2 al denominatore. Ma in questo caso sembrerebbe che non lo tieni in considerazione..
no non sparisce è solo che sto trattando il numeratore che è l'unica cosa che si può semplificare. dopo ci "rimetti" il denominatore. era solo per non appesantire troppo la scrittura. implicitamente ho lavorato con sotto le operazioni anche il denominatore diciamo. in sostanza hai questo:
$ ((2x-5)/(3root(3)((2-x)^2)))/((x-1)^2)=(2x-5)/(3root(3)((2-x)^2)(x-1)^2) $
se noti comunque quando ho messo la mia soluzione il denominatore l'ho considerato.
ad ogni modo questa forma è nettamente più semplice da studiare.
"cooper":
[quote="teorema55"]che è esattamente identica alla mia, basta qualche passaggio per verificarlo.
allora mi scuso per la svista!
[/quote]Ma figurati..........dovresti vedere le mie...............
Ciao.
@cooper grazie mille, ora ho tutto chiaro
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo