Semplificazione di un espressione

[autior]

Salve, volevo chiedervi se potevate spiegarmi come si arriva da questa espressione
$\sum_{i=1}^N (N+1-i)$
a quest'altra
$\sum_{i=1}^N i=(N(N+1))/2$

Inoltre, volevo chiedervi quali sono i calcoli dietro questa semplificazione
$2+3(N+1)+3 \sum_{i=1}^N [(N+1-i)+1]+2 \sum_{i=1}^N (N+1-i) = 5/2 N^2 + 17/2 N + 5$

Sono dei calcoli presenti nelle slide del corso di Algoritmi e Strutture dati della mia Università, servono per calcolare la complessità di alcuni algoritmi. Vi prego di correggermi ogni volta che utilizzo dei termini errati (a partire dal titolo: è corretto dire "semplificazione di un espressione"?) perchè dopo aver furbamente passato gli anni delle superiori a fingere di sapere la matematica adesso mi ritrovo con MOLTI arretrati, e sto cercando di studiare ogni argomento dove ho una carenza, seguendo un approccio bottom-up (quando non riesco a fare qualcosa inizio a studiarlo).

Spero di aver postato nella sezione giusta. Grazie.

[axpgn]

Penso ci sia un'imprecisione in quello che hai scritto ...

$sum_{i=1}^N (N+1-i) = sum_{i=1}^N N + sum_{i=1}^N 1 -sum_{i=1}^N i = N^2 + N - (N(N+1))/2 = (N(N+1))/2$

Da questo puoi risolvere l'altra ...

Cordialmente, Alex

[alextimes]

Ma perché l'hai postata in Scuole Secondarie di I grado, meglio note come medie?