Semplificare sommatoria di funzione esponenziale
Salve.
Ho svolto un esercizio la cui soluzione è data dalla formula $ sum_(i=0)^k 2^i $ . Volevo sapere come è possibile calcolare la soluzione in modo rapido.
Per esempio su wikipedia ho trovato delle formule che consentono di calcolare particolari sommatorie in modo rapido. Per esempio si ha che: $ sum_(i=0)^k i^2 = (n(n+1)(2n+1))/6 $ .
Volevo sapere se esistono delle formule anche per il caso in esame, o comunque come sia possibile scrivere l'identità $ sum_(i=0)^k 2^i $ (k ovviamente è noto, nel caso specifico di quell'esercizio è 63, ma mi interesserebbe il caso generale) in modo da poterla calcolare con una comune calcolatrice scientifica in pochi passaggi, senza quindi sommare i singoli elementi $ 2^0+ 2^1 + 2^2 + ... + 2^k $ perchè, per k grande, l'inserimento di tutti i dati richiederebbe troppo tempo.
Ho svolto un esercizio la cui soluzione è data dalla formula $ sum_(i=0)^k 2^i $ . Volevo sapere come è possibile calcolare la soluzione in modo rapido.
Per esempio su wikipedia ho trovato delle formule che consentono di calcolare particolari sommatorie in modo rapido. Per esempio si ha che: $ sum_(i=0)^k i^2 = (n(n+1)(2n+1))/6 $ .
Volevo sapere se esistono delle formule anche per il caso in esame, o comunque come sia possibile scrivere l'identità $ sum_(i=0)^k 2^i $ (k ovviamente è noto, nel caso specifico di quell'esercizio è 63, ma mi interesserebbe il caso generale) in modo da poterla calcolare con una comune calcolatrice scientifica in pochi passaggi, senza quindi sommare i singoli elementi $ 2^0+ 2^1 + 2^2 + ... + 2^k $ perchè, per k grande, l'inserimento di tutti i dati richiederebbe troppo tempo.
Risposte
$ sum_(i=0)^k 2^i = 2^(i+1) -1$
Puoi dimostrarlo facilmente per induzione
Puoi dimostrarlo facilmente per induzione
"Gi8":
$ sum_(i=0)^k 2^i = 2^(i+1) -1$
Puoi dimostrarlo facilmente per induzione
Ti ringrazio. Per la dimostrazione, basta quindi elencare i primi casi e mostrare come ogni volta $ sum_(i=0)^k 2^i = 2^(k+1) -1$ per dimostrare anche il caso generale?
Non ho ben capito cosa vuoi dire... Facciamo così: prova a fare la dimostrazione e poi postala. Così ci dò un occhiata
$ f(k) := sum_(i=0)^k 2^i $
$ g(k) := 2^(k+1)-1 $
Ora basta dire:
$ f(0) = g(0) $
$f(1) = g(1)$
$f(2) = g(2)$
$f(3) = g(3)$
quindi l'identità è vera? E' questo che intendi per induzione, cioè fare il calcolo per i primi casi e poi dire "quindi anche per gli altri casi è così" ?
$ g(k) := 2^(k+1)-1 $
Ora basta dire:
$ f(0) = g(0) $
$f(1) = g(1)$
$f(2) = g(2)$
$f(3) = g(3)$
quindi l'identità è vera? E' questo che intendi per induzione, cioè fare il calcolo per i primi casi e poi dire "quindi anche per gli altri casi è così" ?
Assolutamente NO 
magari non l'avete ancora fatto 
http://it.wikipedia.org/wiki/Principio_di_induzione
Guarda l'esempio che è riportato
In ogni caso, è proprio necessario dimostare quest'identità?
magari non l'avete ancora fatto http://it.wikipedia.org/wiki/Principio_di_induzione
Guarda l'esempio che è riportato
In ogni caso, è proprio necessario dimostare quest'identità?
"raffamaiden":
$ f(0) = g(0) $
$f(1) = g(1)$
$f(2) = g(2)$
$f(3) = g(3)$
quindi l'identità è vera?
allora è anche vera la proposizione: $f(x)$: $x$ è minore di $5$
infatti $f(0)$ è vera
$f(1)$ è vera
$f(2)$ è vera
$f(3)$ è vera
$f(4)$ è vera
sarà vera per tutti gli altri...
eheheh infatti mi sembrava strano 
L'induzione non l'abbiamo fatta e mi sa che non la faremo 
Ho letto la pagina di wikipedia e l'esempio, posto un tentativo di dimostrazione per induzione. Potete dirmi se è corretto?
Dobbiamo dimostrare che:
$ f(k) = sum_(i = 0)^k 2^i = 2^(k+1) -1$
Dimostriamo la base dell'induzione: f(k) è vera per k=1, infatti $ f(1) = 2^0 + 2^1 = 2^(1+1) - 1 = 3$
Dimostriamo il passo induttivo, dobbiamo dimostrare che, per ogni k, SE f(k) è valida allora lo è anche f(k+1). Sviluppando la formula, si trova che dobbiamo dimostrare che $ f(k+1) = 2^((k+1)+1)-1 $
Applicando la prima formula (quella con la sommatoria) e sostituendo si ha che:
$ f(k) = sum_(i = 0)^(k+1) 2^i = 2^0+2^1+2^2+...+2^k+2^(k+1) = (sum_(i = 0)^(k) 2^i) + 2^(k+1) $
Sostituiamo alla sommatoria la nostra formula
$ (sum_(i = 0)^(k) 2^i) + 2^(k+1) = 2^(k+1) - 1 +2^(k+1) = 2*(2^(k+1)) - 1 = 2^(k+1+1) - 1 = 2^((k+1)+1) - 1 = f(k+1)$
E' giusto? Oppure ho sbagliato qualcosa?
Non ho capito anche una cosa dell'induzione, ma ve lo chiederò dopo
L'induzione non l'abbiamo fatta e mi sa che non la faremo Ho letto la pagina di wikipedia e l'esempio, posto un tentativo di dimostrazione per induzione. Potete dirmi se è corretto?
Dobbiamo dimostrare che:
$ f(k) = sum_(i = 0)^k 2^i = 2^(k+1) -1$
Dimostriamo la base dell'induzione: f(k) è vera per k=1, infatti $ f(1) = 2^0 + 2^1 = 2^(1+1) - 1 = 3$
Dimostriamo il passo induttivo, dobbiamo dimostrare che, per ogni k, SE f(k) è valida allora lo è anche f(k+1). Sviluppando la formula, si trova che dobbiamo dimostrare che $ f(k+1) = 2^((k+1)+1)-1 $
Applicando la prima formula (quella con la sommatoria) e sostituendo si ha che:
$ f(k) = sum_(i = 0)^(k+1) 2^i = 2^0+2^1+2^2+...+2^k+2^(k+1) = (sum_(i = 0)^(k) 2^i) + 2^(k+1) $
Sostituiamo alla sommatoria la nostra formula
$ (sum_(i = 0)^(k) 2^i) + 2^(k+1) = 2^(k+1) - 1 +2^(k+1) = 2*(2^(k+1)) - 1 = 2^(k+1+1) - 1 = 2^((k+1)+1) - 1 = f(k+1)$
E' giusto? Oppure ho sbagliato qualcosa?
Non ho capito anche una cosa dell'induzione, ma ve lo chiederò dopo
$ f(k) = sum_(i = 0)^(k+1) 2^i = 2^0+2^1+2^2+...+2^k+2^(k+1) = (sum_(i = 0)^(k) 2^i) + 2^(k+1) =$
$=(sum_(i = 0)^(k) 2^i) + 2^(k+1) = 2^(k+1) - 1 +2^(k+1) = 2*(2^(k+1)) - 1 = 2^(k+1+1) - 1 = 2^((k+1)+1) - 1 $
perchè all'inizio, il primo termine che scrivi è $f(k)$ ?? non è $f(k+1)$ ??
è tutto giusto tranne questa piccola cosa, ma non so se è un errore di distrazione o non hai capito bene.
che ne dici?
chiedi pure l'altra cosa quando vuoi
$=(sum_(i = 0)^(k) 2^i) + 2^(k+1) = 2^(k+1) - 1 +2^(k+1) = 2*(2^(k+1)) - 1 = 2^(k+1+1) - 1 = 2^((k+1)+1) - 1 $
perchè all'inizio, il primo termine che scrivi è $f(k)$ ?? non è $f(k+1)$ ??
è tutto giusto tranne questa piccola cosa, ma non so se è un errore di distrazione o non hai capito bene.
che ne dici?
chiedi pure l'altra cosa quando vuoi
Si volevo scrivere $f(k+1)$.
Se torni al mio messaggio di prima c'è una parte che è preceduta dalla frase "Sostituiamo alla sommatoria la nostra formula". L'ho separata dal resto apposta.
Ora io ho fatto questo passaggio perché l'esempio che ho letto su wikipedia ([url]http://it.wikipedia.org/wiki/Principio_d'induzione[/url], a me non funziona il tag url...) , esempio che dimostra come $1+2+3+....+n=(n(n+1))/2$, adotta un passaggio simile, cioè ad un certo punto sviluppando $P(n+1)$ (è il nome che dà alla funzione), a una certa parte del suo sviluppo applica la sostituzione $1+2+3...+n = (n(n+1))/2=P(n)$.
Solo che non ho capito esattamente come si giustifica. Nel senso io devo dimostrare che $sum_(i=0)^k 2^i = 2^(k+1)-1$, quindi io nel corso della dimostrazione non so ancora se l'identità di prima è vera, perché appunto la devo dimostrare. Non sapendo se è vera, come faccio a fare questa sostituzione?
chiedi pure l'altra cosa quando vuoi
Se torni al mio messaggio di prima c'è una parte che è preceduta dalla frase "Sostituiamo alla sommatoria la nostra formula". L'ho separata dal resto apposta.
Ora io ho fatto questo passaggio perché l'esempio che ho letto su wikipedia ([url]http://it.wikipedia.org/wiki/Principio_d'induzione[/url], a me non funziona il tag url...) , esempio che dimostra come $1+2+3+....+n=(n(n+1))/2$, adotta un passaggio simile, cioè ad un certo punto sviluppando $P(n+1)$ (è il nome che dà alla funzione), a una certa parte del suo sviluppo applica la sostituzione $1+2+3...+n = (n(n+1))/2=P(n)$.
Solo che non ho capito esattamente come si giustifica. Nel senso io devo dimostrare che $sum_(i=0)^k 2^i = 2^(k+1)-1$, quindi io nel corso della dimostrazione non so ancora se l'identità di prima è vera, perché appunto la devo dimostrare. Non sapendo se è vera, come faccio a fare questa sostituzione?
beh visto che non mi avete risposto provo ad azzardare una ipotesi io .....
Avendo dimostrato nella base dell'induzione che la formula è valida per 1, io so che esiste almeno un elemento appartenente ai numeri naturali per cui quella assunzione è vera. Per cui nel passo induttivo io calcolo $f(n)$ con n appartenente a un sottoinsieme dei numeri naturali per i quali la forumula è vera (dato che non so ancora che è vera per tutti i numeri), per cui quando nella sviluppo io trovo $2^0+2^1+2^2+....+2^n$ lo posso sostituire con $2^(n+1)-1$ dato che ho dimostrato prima che esiste un n appartenente ai numeri naturali per i quali quella formula è vera.
E' corretto? Purtroppo non sono molto pratico con questi ragionamenti dato che l'induzione non la ho mai fatta.....
Avendo dimostrato nella base dell'induzione che la formula è valida per 1, io so che esiste almeno un elemento appartenente ai numeri naturali per cui quella assunzione è vera. Per cui nel passo induttivo io calcolo $f(n)$ con n appartenente a un sottoinsieme dei numeri naturali per i quali la forumula è vera (dato che non so ancora che è vera per tutti i numeri), per cui quando nella sviluppo io trovo $2^0+2^1+2^2+....+2^n$ lo posso sostituire con $2^(n+1)-1$ dato che ho dimostrato prima che esiste un n appartenente ai numeri naturali per i quali quella formula è vera.
E' corretto? Purtroppo non sono molto pratico con questi ragionamenti dato che l'induzione non la ho mai fatta.....
L'idea che c'è dietro alla dimostrazione per induzione è (più o meno) la seguente:
- Per prima cosa si dimostra che l'asserto vale per $1$
[in alcuni casi si parte anche da $0$, ma comunque cambia poco, l'importante è iniziare da qualcosa]
cioè "$f(1)$ è vero"
- In secondo luogo (e questa è l'essenza della dimostrazione) si dimostra la seguente proposizione:
"Se l'asserto è vero per un generico numero naturale, allora l'asserto è vero anche per il suo successivo"
Scritto in termini (quasi) matematici: "$f(n)$ è vero $rArr$ $f(n+1)$ è vero"
Per fare ciò, tu supponi per ipotesi che l'asserto valga per $n$, e dimostri, tramite qualche calcolo e passaggio algebrico, che si riesce a mostrare che l'asserto vale anche per $n+1$
Fatto ciò, hai che l'asserto vale per tutti i numeri naturali.
Infatti, l'asserto vale per $1$, perchè l'hai dimostrato effettivamente;
e poi, siccome sai che se l'asserto vale per un numero allora vale anche per il suo successivo, l'asserto vale anche per $2$;
ma se vale per $2$, deve valere anche per il suo successivo, cioè $3$;
ma se vale per $3$, allora vale anche per $4$;
e poi anche per $5$....
E così via... Mica male no?
Spero di essere stato abbastanza chiaro... Se hai altri dubbi chiedi pure
- Per prima cosa si dimostra che l'asserto vale per $1$
[in alcuni casi si parte anche da $0$, ma comunque cambia poco, l'importante è iniziare da qualcosa]
cioè "$f(1)$ è vero"
- In secondo luogo (e questa è l'essenza della dimostrazione) si dimostra la seguente proposizione:
"Se l'asserto è vero per un generico numero naturale, allora l'asserto è vero anche per il suo successivo"
Scritto in termini (quasi) matematici: "$f(n)$ è vero $rArr$ $f(n+1)$ è vero"
Per fare ciò, tu supponi per ipotesi che l'asserto valga per $n$, e dimostri, tramite qualche calcolo e passaggio algebrico, che si riesce a mostrare che l'asserto vale anche per $n+1$
Fatto ciò, hai che l'asserto vale per tutti i numeri naturali.
Infatti, l'asserto vale per $1$, perchè l'hai dimostrato effettivamente;
e poi, siccome sai che se l'asserto vale per un numero allora vale anche per il suo successivo, l'asserto vale anche per $2$;
ma se vale per $2$, deve valere anche per il suo successivo, cioè $3$;
ma se vale per $3$, allora vale anche per $4$;
e poi anche per $5$....
E così via... Mica male no?
Spero di essere stato abbastanza chiaro... Se hai altri dubbi chiedi pure
Ti ringrazio, ora è tutto molto più chiaro 
Ho trovato in questo link alcuni esercizi che ho provato a svolgere.
Potete, per favore, darci un'occhiata per vedere se sono giusti? Così posso vedere se l'ho imparata per benino. Se ne voglio fare altri, ho i risultati e posso correggermi da solo, ma se il risultato viene giusto e sbaglio il procedimento non c'è nessuno che mi corregge
Esercizio 1) $ sum_(k=1)^n k = (n(n+1))/2 $
Base dell'induzione per n=1:
$ sum_(k=1)^1 k = 1 = (1(1+1))/2 = 2/2 = 1 $
La formula vale per n=1
Passo deduttivo:
Ipotesi:
$ sum_(k=1)^n k = (n(n+1))/2 $
Tesi:
$ sum_(k=1)^(n+1) k = ((n+1)((n+1)+1))/2 $
Dimostrazione:
$ sum_(k=1)^(n+1) k = 1+2+3+...+n+(n+1) = sum_(k=1)^n k + (n+1) $
Per ipotesi si ha che
$ (n(n+1))/2 + (n+1) = (n(n+1)+2(n+1))/2 = ((n+1)(2+n))/2 = ((n+1)((n+1)+1))/2 $ C.V.D.
Esercizio 2) $sum_(k=1)^n (2k-1) = n^2
Base dell'induzione per n=1: $sum_(k=1)^1 (2k-1) = 2*1-1 = 1 = 1^2$
Passo deduttivo:
Ipotesi:
$ sum_(k=1)^n (2k-1) = n^2 $
Tesi:
$ sum_(k=1)^(n+1) (2k-1) = (n+1)^2 $
Dimostrazione:
$ sum_(k=1)^(n+1) (2k-1) = (2*1-1)+(2*2-1)+(2*3-1) + ...+(2*n-1)+(2*(n+1)-1) = sum_(k=1)^n (2k-1) + (2(n+1)-1) = n^2 + (2n+2-1) = n^2+2n+1 = (n+1)^2 $ C.V.D.
Ho trovato in questo link alcuni esercizi che ho provato a svolgere.
Potete, per favore, darci un'occhiata per vedere se sono giusti? Così posso vedere se l'ho imparata per benino. Se ne voglio fare altri, ho i risultati e posso correggermi da solo, ma se il risultato viene giusto e sbaglio il procedimento non c'è nessuno che mi corregge
Esercizio 1) $ sum_(k=1)^n k = (n(n+1))/2 $
Base dell'induzione per n=1:
$ sum_(k=1)^1 k = 1 = (1(1+1))/2 = 2/2 = 1 $
La formula vale per n=1
Passo deduttivo:
Ipotesi:
$ sum_(k=1)^n k = (n(n+1))/2 $
Tesi:
$ sum_(k=1)^(n+1) k = ((n+1)((n+1)+1))/2 $
Dimostrazione:
$ sum_(k=1)^(n+1) k = 1+2+3+...+n+(n+1) = sum_(k=1)^n k + (n+1) $
Per ipotesi si ha che
$ (n(n+1))/2 + (n+1) = (n(n+1)+2(n+1))/2 = ((n+1)(2+n))/2 = ((n+1)((n+1)+1))/2 $ C.V.D.
Esercizio 2) $sum_(k=1)^n (2k-1) = n^2
Base dell'induzione per n=1: $sum_(k=1)^1 (2k-1) = 2*1-1 = 1 = 1^2$
Passo deduttivo:
Ipotesi:
$ sum_(k=1)^n (2k-1) = n^2 $
Tesi:
$ sum_(k=1)^(n+1) (2k-1) = (n+1)^2 $
Dimostrazione:
$ sum_(k=1)^(n+1) (2k-1) = (2*1-1)+(2*2-1)+(2*3-1) + ...+(2*n-1)+(2*(n+1)-1) = sum_(k=1)^n (2k-1) + (2(n+1)-1) = n^2 + (2n+2-1) = n^2+2n+1 = (n+1)^2 $ C.V.D.
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