Semplificare frazioni algebriche in funzioni, derivate e integrali
Ciao a tutti! Sono nuovo del forum! 
Mi sono iscritto perchè ho bisogno di risolvere questo dubbio e mettere un po' di ordine nella mia testa riguardo all'argomento "semplificazione di frazioni algebriche" siano esse presenti in equazioni o funzioni, derivate, integrali.
Innanzitutto se in un'equazione ho $((x-2)(x-3))/(x-2)=0$ ; ponendo x diverso da 2 posso semplificare (x-2) a numeratore e a denominatore.
Passando alle funzioni NON POSSO MAI riprodurre lo stesso procedimento, ad esempio $y=(x^2)/x$ non può essere ridotta a $y=x$ perchè sono due funzioni diverse, in particolare la prima rispetto alla seconda manca del punto (0,0) essendo x=0 un punto di discontinuità di terza specie.
Ora il mio ragionamento dovrebbe estendersi anche a derivate ed integrali, perchè essi sono comunque operatori che "lavorano" con le funzioni. Però sul mio libro ho trovato diversi casi di queste semplificazioni e negli esercizi si ricorre spesso a questo tipo di semplificazioni.
Ad esempio considero la derivata $Dx=1$ e la derivata $D(x^2/x)=(x^2)/(x^2)$
La seconda derivata (essendo la derivata una funzione) non dovrebbe essere possibile ridurla a 1 semplificando i due $x^2$ e comunque facendolo si aggiungerebbe al grafico il punto (0,0) che è un punto di discontinuità di terza specie.
Perciò seguendo questo ragionamento non dovrei mai semplificare neanche a monte prima di fare la derivata, ma spesso negli esercizi lo si fa. Analogo dubbio ho sugli integrali.
Vi ringrazio già in anticipo! Spero che qualcuno riesca a risolvere questo stupido dubbio e a spiegarmi sistematicamente quando posso e quando non posso semplificare.
Mi sono iscritto perchè ho bisogno di risolvere questo dubbio e mettere un po' di ordine nella mia testa riguardo all'argomento "semplificazione di frazioni algebriche" siano esse presenti in equazioni o funzioni, derivate, integrali.
Innanzitutto se in un'equazione ho $((x-2)(x-3))/(x-2)=0$ ; ponendo x diverso da 2 posso semplificare (x-2) a numeratore e a denominatore.
Passando alle funzioni NON POSSO MAI riprodurre lo stesso procedimento, ad esempio $y=(x^2)/x$ non può essere ridotta a $y=x$ perchè sono due funzioni diverse, in particolare la prima rispetto alla seconda manca del punto (0,0) essendo x=0 un punto di discontinuità di terza specie.
Ora il mio ragionamento dovrebbe estendersi anche a derivate ed integrali, perchè essi sono comunque operatori che "lavorano" con le funzioni. Però sul mio libro ho trovato diversi casi di queste semplificazioni e negli esercizi si ricorre spesso a questo tipo di semplificazioni.
Ad esempio considero la derivata $Dx=1$ e la derivata $D(x^2/x)=(x^2)/(x^2)$
La seconda derivata (essendo la derivata una funzione) non dovrebbe essere possibile ridurla a 1 semplificando i due $x^2$ e comunque facendolo si aggiungerebbe al grafico il punto (0,0) che è un punto di discontinuità di terza specie.
Perciò seguendo questo ragionamento non dovrei mai semplificare neanche a monte prima di fare la derivata, ma spesso negli esercizi lo si fa. Analogo dubbio ho sugli integrali.
Vi ringrazio già in anticipo! Spero che qualcuno riesca a risolvere questo stupido dubbio e a spiegarmi sistematicamente quando posso e quando non posso semplificare.
Risposte
$y=x$ ed $y=x^2/x$ hanno in comune tutto il grafico, salvo un punto nel quale è presente una discontinuità eliminabile. Di fatto sono la stessa funzione.
"kobeilprofeta":
$y=x$ ed $y=x^2/x$ hanno in comune tutto il grafico, salvo un punto nel quale è presente una discontinuità eliminabile. Di fatto sono la stessa funzione.
In pratica, ma in teoria proprio per questo non sono la stessa funzione; basta che ci sia un punto per il quale accadono cose differenti per parlare di due funzioni differenti.
Per il resto non ho nulla da ridire sul post di DDosF a cui do il benvenuto al forum.
Tra 4-5 anni, a seconda del cdl che sceglierai se andrai avanti con gli studi, potrai anche dire che sono la stessa funzione quasi ovunque...
"Zero87":
[quote="kobeilprofeta"]$y=x$ ed $y=x^2/x$ hanno in comune tutto il grafico, salvo un punto nel quale è presente una discontinuità eliminabile. Di fatto sono la stessa funzione.
In pratica, ma in teoria proprio per questo non sono la stessa funzione; basta che ci sia un punto per il quale accadono cose differenti per parlare di due funzioni differenti.
Per il resto non ho nulla da ridire sul post di DDosF a cui do il benvenuto al forum.
Tra 4-5 anni, a seconda del cdl che sceglierai se andrai avanti con gli studi, potrai anche dire che sono la stessa funzione quasi ovunque...
[/quote]Grazie mille ragazzi! Detto questo la mia domanda è: allora posso semplificare SEMPRE senza troppi pensieri? (cosa che ovviamente sto già facendo) Anche se mi sembra di aver già capito che la risposta è si SEMPRE.
Se posso intervenire...
le tue considerazioni DDosF sono accurate ed intelligenti.
Mi viene da dire che se mai nella tua vita dovessi trovare uno studio di funzione
$y=x^2/x$
è evidente che non dovrai semplificare ma dire che hai una discontinuità nella origine degli assi ecc. ecc.
Ma credo di poter dire che ti capiterà molto di rado
le tue considerazioni DDosF sono accurate ed intelligenti.
Mi viene da dire che se mai nella tua vita dovessi trovare uno studio di funzione
$y=x^2/x$
è evidente che non dovrai semplificare ma dire che hai una discontinuità nella origine degli assi ecc. ecc.
Ma credo di poter dire che ti capiterà molto di rado
"DDosF":
Detto questo la mia domanda è: allora posso semplificare SEMPRE senza troppi pensieri? (cosa che ovviamente sto già facendo) Anche se mi sembra di aver già capito che la risposta è si SEMPRE.
Veramente ho detto il contrario, a rigor di logica non dovresti semplificare mai.
Poi, facendo opportune considerazioni, nell'esempio di $f(x)=x^2/x$
$f(x)={(x \qquad \qquad \qquad \qquad x\ne 0),("non esiste" \qquad x=0):}$
comunque diversa da $f(x)=x$.
Poi puoi estenderla con continuità - la discontinuità è eliminabile - e tante altre cosucce interessanti, ma non è questo che interessa ora.
EDIT
Ho visto il messaggio di mazzarri - che saluto - solo ora e praticamente è simile a quanto ho detto io.
"mazzarri":
Se posso intervenire...
le tue considerazioni DDosF sono accurate ed intelligenti.
Mi viene da dire che se mai nella tua vita dovessi trovare uno studio di funzione
$y=x^2/x$
è evidente che non dovrai semplificare ma dire che hai una discontinuità nella origine degli assi ecc. ecc.
Ma credo di poter dire che ti capiterà molto di rado
Concludendo di sicuro le due funzioni non sono la stessa cosa e in teoria non posso mai semplificare, gli studi delle due funzioni sono infatti diversi, però in esercizi su derivate o integrali piuttosto complessi da calcolare posso procedere alla semplificazione tenendo presente quanto detto ok?
Colgo l'occasione per ringraziare tutti quelli che mi hanno risposto. Grazie mille!
Una funzione è individuata non solo dalla sua forma algebrica, ma anche dal suo dominio.
Da questo consegue che $y=x^2/x$ e $y=x$ sono due funzioni diverse, ma
$y=x^2/x$ e ($y=x$ con $x!=0$ ) sono la stessa funzione.
Da questo consegue che $y=x^2/x$ e $y=x$ sono due funzioni diverse, ma
$y=x^2/x$ e ($y=x$ con $x!=0$ ) sono la stessa funzione.
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