Semplici esercizi test ammissione università
Ciao a tutti, a settembre proverò il test d'ammissione a Chimica ma ho qualche problema nel risolvere i quesiti di matematica; quello che mi blocca è il fatto che per risolverli non servano grandi calcoli ma più un ragionamento logico, penso, e per questo non so da che parte iniziare!
Ad esempio: si consideri la successione di numeri definita ponendo $x_o$=0, $x_1$=1, $x_2$=-1, e, più in generale,
$x_n+_2$= $x_n+_1$ - $x_n$ + $x_n-_1$, per ogni n$>=$ 1. Qual è il valore di $x_2011$ ?
non so se si riesce a capire bene, comunque n+2 come n+1 e n-1 sono tutti pedici delle x.
Grazie!
Ad esempio: si consideri la successione di numeri definita ponendo $x_o$=0, $x_1$=1, $x_2$=-1, e, più in generale,
$x_n+_2$= $x_n+_1$ - $x_n$ + $x_n-_1$, per ogni n$>=$ 1. Qual è il valore di $x_2011$ ?
non so se si riesce a capire bene, comunque n+2 come n+1 e n-1 sono tutti pedici delle x.Grazie!
Risposte
Visto che: $x_{n+2}=x_{n+1}-x_n+x_{n-1}$
allora: $x_{n+1}=x_{n}-x_{n-1}+x_{n-2}$.
Se sostituisco la seconda equazione nella prima:
$x_{n+2}=x_{n}-x_{n-1}+x_{n-2}-x_n+x_{n-1}$ e quindi $x_{n+2}=x_{n-2}$.
Ne consegue che $x_{2011}=x_{2007}=x_{2003}=...=x_{3}$
A questo punto non rimane che calcolarsi in modo diretto $x_3$
EDIT: Ho visto ora che questo è il tuo primo messaggio! Benvenuto!
allora: $x_{n+1}=x_{n}-x_{n-1}+x_{n-2}$.
Se sostituisco la seconda equazione nella prima:
$x_{n+2}=x_{n}-x_{n-1}+x_{n-2}-x_n+x_{n-1}$ e quindi $x_{n+2}=x_{n-2}$.
Ne consegue che $x_{2011}=x_{2007}=x_{2003}=...=x_{3}$
A questo punto non rimane che calcolarsi in modo diretto $x_3$
EDIT: Ho visto ora che questo è il tuo primo messaggio! Benvenuto!
"Clorinda":
EDIT: Ho visto ora che questo è il tuo primo messaggio! Benvenuto!
Grazie!
Però ho ancora alcuni (parecchi
) dubbi... ho fatto il classico e non ho idea di cosa sia la congruenza modulo quattro, quindi non riesco a capire come hai trovato la seconda equazione!Poi ho capito la sostituzione e tutto..però se devo calcolare $x_3$ allora devo sostituirlo qui $ x_n+_2=x_n−_2$ , giusto?
quindi $x_3 = x_-1$ o no?! poi non so più come continuare!
le mie basi di matematica sono quelle che sono.. e mi sto un po' disperando!!
"nordlys":
[quote="Clorinda"]EDIT: Ho visto ora che questo è il tuo primo messaggio! Benvenuto!
Grazie!
Però ho ancora alcuni (parecchi
) dubbi... ho fatto il classico e non ho idea di cosa sia la congruenza modulo quattro, quindi non riesco a capire come hai trovato la seconda equazione![/quote]
Tranquillo, l'ho messo apposta in spoiler perché non sapevo se le congruenze modulo $k$ ti fossero note o no.
In realtà potevi benissimo arrivare a scriverti la sequenza $ x_{2011}=x_{2007}=x_{2003}=...=x_{3} $ ragionando semplicemente sulle sottrazioni successive da effettuare.
Infatti, visto che $ x_{n+2}=x_{n−2} \quad \forall n$, allora la sequenza si ripete sempre uguale con un "periodo" di lunghezza $4$ e quindi puoi ricondurti a partire da $x_{2011}$ al caso semplice $x_{3}$.
Esempio (considerando solo i pedici delle $x$, e considerando $n_1,n_2,..., \in \mathbb{N}$ ):
$n_{1}+2=2011,n_{1}-2=2007$
$n_{2}+2=2007,n_{2}-2=2003$
$n_{3}+2=2003,n_{3}-2=1999$
$n_{4}+2=1999,n_{4}-2=1995$
e via dicendo...
"nordlys":
Poi ho capito la sostituzione e tutto..però se devo calcolare $x_3$ allora devo sostituirlo qui $ x_n+_2=x_n−_2$ , giusto?
quindi $x_3 = x_-1$ o no?! poi non so più come continuare!
Per quanto riguarda il calcolo di $x_{3}$, considera che lo puoi scrivere come:$ x_{\alpha+1}=x_{\alpha}-x_{\alpha-1}+x_{\alpha-2} $ con $\alpha=2$ (poiché $3=2+1$).
Quindi: $x_{3}=x_{2}+x_{0}-x_{1}=...$
Quindi $x_3 = -1 -1+ 0$ e quindi -2...
Grazie mille! ora è tutto più chiaro!
Grazie mille! ora è tutto più chiaro!
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