Semplici domande di goniometria.
salve,
ho iniziato da poco ad affrontare goniometria e mi servirebbe cortesemente qualche aiuto per capire meglio.
ho le seguenti equazioni:
1) $senx=sqrt(2)/2$
sol.: $x=\pi/4+2k\pi; x=3/4\pi+2k\pi$
2) $senx=-sqrt(2)/2$
sol.: $-3/4\pi+2k\pi; x=-\pi/4+2k\pi$
io ho fatto qualcosa da me e vorrei sapere se è giusto.
si guardi l'immagine:
(1) gli archi considerati per la (1) sono quelli in rosso.
mi ritrovo con:
$x_1 = \pi/4 + 2k\pi$
$x_2 = \pi-(\pi/4) + 2k\pi \Rightarrow$
$x_2 = 3/4\pi + 2k\pi$
e sembrerebbe giusto.
(2) gli archi considerati per la (2) sono quelli in verde.
se ho considerato corettamente gli archi. qui come faccio?
ho provato così ma senza successo e cioè:
ho considerato l'arco di 180° inferiore quindi $-\pi$ e in aggiunta l'archetto di -45° cioè $-\pi/4$
quindi dovrei ottenere:
$x_1 = -\pi+(-\pi/4)+2k\pi \Rightarrow$
$x_1 = -5/4\pi + 2k\pi$
che è sbagliato.
come devo procedere? quali sono gli archi che devo cosiderare e come devo fare per considerarli correttamente?
mille grazie.
ho iniziato da poco ad affrontare goniometria e mi servirebbe cortesemente qualche aiuto per capire meglio.
ho le seguenti equazioni:
1) $senx=sqrt(2)/2$
sol.: $x=\pi/4+2k\pi; x=3/4\pi+2k\pi$
2) $senx=-sqrt(2)/2$
sol.: $-3/4\pi+2k\pi; x=-\pi/4+2k\pi$
io ho fatto qualcosa da me e vorrei sapere se è giusto.
si guardi l'immagine:
(1) gli archi considerati per la (1) sono quelli in rosso.
mi ritrovo con:
$x_1 = \pi/4 + 2k\pi$
$x_2 = \pi-(\pi/4) + 2k\pi \Rightarrow$
$x_2 = 3/4\pi + 2k\pi$
e sembrerebbe giusto.
(2) gli archi considerati per la (2) sono quelli in verde.
se ho considerato corettamente gli archi. qui come faccio?
ho provato così ma senza successo e cioè:
ho considerato l'arco di 180° inferiore quindi $-\pi$ e in aggiunta l'archetto di -45° cioè $-\pi/4$
quindi dovrei ottenere:
$x_1 = -\pi+(-\pi/4)+2k\pi \Rightarrow$
$x_1 = -5/4\pi + 2k\pi$
che è sbagliato.
come devo procedere? quali sono gli archi che devo cosiderare e come devo fare per considerarli correttamente?
mille grazie.
Risposte
Ovviamente la prima è giusta e la seconda no. Per individuare gli archi che soddisfano la seconda equazione devi inviduare sull'asse delle ordinate
il valore del seno ($-sqrt2/2$) e dal punto tracciare la parallela all'asse x che incontra la circonferenza in due punti.
Individuare gli archi associati a tali punti.
Oppure, che è più semplice, ricorda che $sin(-alpha)=-sin alpha$, quindi $sin x=-sqrt2/2$, $x=arcsin(-sqrt2/2)=-arcsin(sqrt2/2)$
questa uguaglianza genera le soluzioni $x=-pi/4+2kpi$ e $x=-3/4 pi+2kpi$
il valore del seno ($-sqrt2/2$) e dal punto tracciare la parallela all'asse x che incontra la circonferenza in due punti.
Individuare gli archi associati a tali punti.
Oppure, che è più semplice, ricorda che $sin(-alpha)=-sin alpha$, quindi $sin x=-sqrt2/2$, $x=arcsin(-sqrt2/2)=-arcsin(sqrt2/2)$
questa uguaglianza genera le soluzioni $x=-pi/4+2kpi$ e $x=-3/4 pi+2kpi$
infatti gli archi in verde sono giustamente $-5/4pi$ e $-(2pi-pi/4)=-7/4pi$.
se vuoi considerare gli archi "negativi", cioè andare in senso orario, per rappresentare $-pi/4$ e $-3/4pi$ devi "fermarti agli opposti di quelli in rosso": quarto quadrante e terzo quadrante rispettivamente. spero sia chiaro.
potresti al contrario rappresentare "gli opposti di quelli in verde" andando in senso antiorario e rappresentare gli stessi angoli di terzo e quarto quadrante come positivi: $+5/4pi$ e $+7/4pi$. come vorresti fare?
se vuoi considerare gli archi "negativi", cioè andare in senso orario, per rappresentare $-pi/4$ e $-3/4pi$ devi "fermarti agli opposti di quelli in rosso": quarto quadrante e terzo quadrante rispettivamente. spero sia chiaro.
potresti al contrario rappresentare "gli opposti di quelli in verde" andando in senso antiorario e rappresentare gli stessi angoli di terzo e quarto quadrante come positivi: $+5/4pi$ e $+7/4pi$. come vorresti fare?
per il secondo esercizio:
il primo caso detto da adaBTTLS dovrebbe essere così quindi:
il secondo non l'ho capito purtroppo...
il primo caso detto da adaBTTLS dovrebbe essere così quindi:
il secondo non l'ho capito purtroppo...
in questa figura ci sono entrambe le soluzioni: $x_1=-pi/4+2kpi," "x_2=-3/4pi+2kpi$.
gli stessi valori, li puoi vedere graficamente se vai in senso antiorario e "ti fermi" agli stessi "secondi estremi degli angoli", e algebricamente li puoi ottenere dai precedenti negativi aggiungendo $2pi$ : $2pi-pi/4+2kpi=7/4pi+2kpi$ e $2pi-3/4pi+2kpi=5/4pi+2kpi$.
è chiaro?
c'è qualche altra richiesta che mi è sfuggita o era questo che volevi sapere?
gli stessi valori, li puoi vedere graficamente se vai in senso antiorario e "ti fermi" agli stessi "secondi estremi degli angoli", e algebricamente li puoi ottenere dai precedenti negativi aggiungendo $2pi$ : $2pi-pi/4+2kpi=7/4pi+2kpi$ e $2pi-3/4pi+2kpi=5/4pi+2kpi$.
è chiaro?
c'è qualche altra richiesta che mi è sfuggita o era questo che volevi sapere?
quindi così è giusto?:
cioè:
$\pi+\pi/4=5/4\pi$ (l'arco "interno")
$2\pi-\pi/4=7/4\pi$ (l'arco "esterno")
cioè:
$\pi+\pi/4=5/4\pi$ (l'arco "interno")
$2\pi-\pi/4=7/4\pi$ (l'arco "esterno")
se è corretta la figura che ho fatto in definitiva che se consideriamo
$senx = -sqrt(2)/2$
avremo:
I)
$x_1 = -\pi/4+2k\pi$
$x_2 = -\pi+\pi/4+2k\pi = (-4\pi+\pi)/4+2k\pi = -3/4\pi+2k\pi$
e quindi la penultima figura...
II)
$x_1 = 2\pi-\pi/4+2k\pi = (8\pi-\pi)/4+2k\pi = 7/4\pi+2k\pi$
$x_2 = \pi+\pi/4+2k\pi = (4\pi+\pi)/4 + 2k\pi = 5/4\pi+2k\pi$
e quindi l'ultima figura....
p.s. è giusta anche questa figura?
$senx = -sqrt(2)/2$
avremo:
I)
$x_1 = -\pi/4+2k\pi$
$x_2 = -\pi+\pi/4+2k\pi = (-4\pi+\pi)/4+2k\pi = -3/4\pi+2k\pi$
e quindi la penultima figura...
II)
$x_1 = 2\pi-\pi/4+2k\pi = (8\pi-\pi)/4+2k\pi = 7/4\pi+2k\pi$
$x_2 = \pi+\pi/4+2k\pi = (4\pi+\pi)/4 + 2k\pi = 5/4\pi+2k\pi$
e quindi l'ultima figura....
p.s. è giusta anche questa figura?
I) e II) sono due modi alternativi per esprimere gli stessi archi (le soluzioni sono esatte).
l'ultima figura rappresenta giustamente (in nero) i due punti della circonferenza goniometrica di ordinata $-sqrt(2)/2$, mentre gli archetti (in rosso) sono due modi per rappresentare solo una delle due soluzioni.
OK? ciao.
l'ultima figura rappresenta giustamente (in nero) i due punti della circonferenza goniometrica di ordinata $-sqrt(2)/2$, mentre gli archetti (in rosso) sono due modi per rappresentare solo una delle due soluzioni.
OK? ciao.
dovrebbe rappresentare $x_1 = -\pi/4+2k\pi$ e $x_2 = 7/4\pi+2k\pi$...
considerando sempre $senx = -sqrt(2)/2$ tale rappresentazione risulta valida?
considerando sempre $senx = -sqrt(2)/2$ tale rappresentazione risulta valida?
$-pi/4+2kpi$ e $7/4pi+2kpi$ sono "la stessa soluzione" (anche se ne rappresenta infinite a meno di multipli di $2pi$): non dimenticare $k in ZZ$
$-pi/4+2hpi$ e $7/4pi+2jpi$, con $h,j in ZZ$, basta che sia $h=j+1$ e le soluzioni sono le stesse.
$-pi/4+2hpi$ e $7/4pi+2jpi$, con $h,j in ZZ$, basta che sia $h=j+1$ e le soluzioni sono le stesse.
io mi riferivo al fatto che prima avevamo trovato some soluzione $5/4\pi+2k\pi$ e mi chiedevo se anche queste ultime trovate fossero valide e quindi la risposta è positiva!
ora se considero $sen(x+\pi/4) = 0$
ha come sol.: solamente $x=-\pi/4+k\pi$
ma anche la sol. $-3/4\pi+2k\pi$ è valida. è giusto?
io per partire nello svolgimento ho posto $x+\pi/4 = 0$ e portato il termine noto al secondo membro etc...
ora se considero $sen(x+\pi/4) = 0$
ha come sol.: solamente $x=-\pi/4+k\pi$
ma anche la sol. $-3/4\pi+2k\pi$ è valida. è giusto?
io per partire nello svolgimento ho posto $x+\pi/4 = 0$ e portato il termine noto al secondo membro etc...
da $x+pi/4=kpi$ trovi la prima soluzione che hai scritto, e la periodicità di $pi$ anziché $2pi$ ti garantisce che consideri entrambe le soluzioni (per intenderci, nel primo giro, $(3/4pi), (2pi-pi/4=7/4pi)$).
la seconda soluzion non è corretta: per convincertene, sostituisci nel testo.
la seconda soluzion non è corretta: per convincertene, sostituisci nel testo.
io ho trovato quella soluzione andando in senso orario dall'origine degli archi, quindi $-\pi$ e poi indietro con $+\pi/4$ ... forse ho sbagliato a considerare l'angolo con l'asse delle ascisse nel III quadrante come di 45°.... praticamente ho considerato la seconda figura dall'inizio che vedi.
l'equazione non è $senx=0$ a cu aggiunger dopo $pi/4$. casomai una soluzione particolare è data da $x+pi/4=-pi -> x=-pi/4-pi=-5/4pi$
la rappresentazione sulla circonferenza goniometrica non è più quella nella seconda figura quindi... ora mi sto confondendo con $senx = \pi/4$.
Perchè dici che $x+\pi/4=-\pi$? il punti di partenza cambia? non parto più dall'origine degli assi ma da uno scostamento?
Perchè dici che $x+\pi/4=-\pi$? il punti di partenza cambia? non parto più dall'origine degli assi ma da uno scostamento?
nell'equazione, l'argomento non è $x$ ma $x+pi/4$
$senx=pi/4$ è tutt'un'altra cosa... casomai volevi dire $senx=senpi/4$ ... e comunque è un'altra cosa.
buona notte.
$senx=pi/4$ è tutt'un'altra cosa... casomai volevi dire $senx=senpi/4$ ... e comunque è un'altra cosa.
buona notte.
no l'equazione rimane quella $sen(x+\pi/4) = 0$ io personalmente mi sto imbrogliando un bel pò ragionando come se fosse $senx=\pi/4$......
buona notte e grazie per l'infinita pazienza.
buona notte e grazie per l'infinita pazienza.
quando l'argomento non è x, ed è possibile evitare l'uso delle formule goniometriche [qui si potrebbe in alternativa applicare la formula di addizione del seno], allora, per trattarla da "particolare equazione elementare" va vista come $sin(f(x))= ... $ in questo caso $sin(f(x))=0," dove "f(x)=x+pi/4$ dunque la soluzione è $f(x)=kpi$, cioè l'unica trovata inizialmente: $x+pi/4=kpi -> x=-pi/4+kpi, k in ZZ$ che è equivalente a $x=3/4pi+hpi, h in ZZ$. le soluzioni del primo giro sono $3/4pi " e " 7/4pi$. non si sono altre soluzioni.
spero sia chiaro, soprattutto il discorso relativo all'argomento. ciao.
spero sia chiaro, soprattutto il discorso relativo all'argomento. ciao.
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