Semplice serie divergente. aiuto.

[lapoalberto77]

Salve a tutti,

ho la seguente serie:
$\sum_{k=1}^\infty (2k-1)$
verificare che è divergente.

vi posto l'esempio svolto e i chiarimenti che vorrei cortesemente ricevere:

poiche:
$a_1 = 2-1, a_2=4-1, a_3=6-1, ..., a_n=2n-1$

si ha:
$S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n = 2 + 4+ 6 + ... + 2n - n = (2+2n)/(2)*n - n = (1+n)n-n=n^2$

quindi:

$lim_(n->+oo) S_n = lim_(n->+oo) n^2 = +oo$


ora ecco le mie perplessità:
se si tratta di somma dei termini della serie, per quale motivo non si dovrebbe fare in questo modo seguente?
$(2-1)+(4-1)+(6-1)+...+(2n-1)$?
infatti mi ritrovo risultati diversi nella risoluzione...

in che modo è stata realizzata tale somma nell'esercizio di sopra?
vedo comparire anche un $-n$ nella somma. come mai?
ed inoltre, mentre in questo caso la serie diverge a $+oo$, una serie qualunque diversa da questa potrebbe divergere invece a $-oo$?


spero possiate gentilmente aiutarmi.
mille grazie!!

[Gatto891]

Da come è scritta in effetti hai che la tua somma è formalmente $1 + 3 + 5 + ...$ ovvero, fermandoci all'n-esimo termine, la somma dei primi n numeri dispari che vale $n^2$ (puoi vederlo per induzione, o anche "geometricamente" con l'area di un quadrato a cui ogni volte aggiungi uno al lato).

A questo punto lo fai tendere ad infinito e come hai già visto va chiaramente a infinito...

[lapoalberto77]

e quella scritta nell'esempio è sbagliata?
chiedo scusa ma non mi è chiaro. mi piacerebbe mi fosse spiegata meglio

$S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n = 2 + 4+ 6 + ... + 2n - n = (2+2n)/(2)*n - n = (1+n)n-n=n^2$

$... + 2n - n$ da dove esce?
e come si fa ad ottenere il passaggio successivo $(2+2n)/(2)*n - n$ ?

[giammaria2]

$S_n=a_1+a_2+... +a_n=(2+4+6+...+2n)-(1+1+...+1)=...$
Il passaggio successivo usa la formula per la somma dei termini di una progressione aritmetica: questa somma è uguale alla media fra il primo e l'ultimo, moltiplicata per il numero dei termini.