Semplice disequazione irrazionale

[rollitata]

Salve a tutti, ho un problema con questa disequazione:

$ sqrt(x^2-2x-3)/x <5 $

Allora io procedo così ma non capisco dove sbaglio:

$ sqrt(x^2-2x-3)/x -5<0 $

quindi:

$ sqrt(x^2-2x-3)<5x $


Faccio il sistema (per il numeratore) e trattandosi di una disequazione irrazionale:

[ $ x^2-2x-3 >=0 $
[ $ 5x >=0 $
[ $ x^2-2x-3 <25x^2 $

la prima disequazione è soddisfatta per $ x<=-1 vv x>=3 $
la seconda per $ x>=0 $
la terza avendo il delta <0 allora è soddisfatta $ AA x in R $

pertanto le soluzioni comuni per me sono $ x>=3 $

Poi il denominatore è $ x>0 $

Faccio lo schemino per i segni per vedere dove è negativa e mi viene che la disequazione è negativa
per $ 0 ma il libro porta come soluzione $ x<=-1 vv x>=3 $

Dove sbaglio???

Grazie per ogni eventuale risposta

[rollitata]

scusate....forse ho capito
la disequazione è del tipo $ sqrt(f(x)]>=c $
e quindi nel sistema non va il $ 5x>=0 $
Pertanto le soluzioni comuni sono: $ x<=-1vv x>=3 $

Giusto???

[@melia]

Il primo GRAVE errore è quello di eliminare il denominatore, di cui non conosci il segno, in una disequazione.

[rollitata]

Grazie @melia.... allora non ho capito niente!!!!

[rollitata]

Quindi il procedimento con il sistema che avevo fatto in precedenza era giusto???

[@melia]

Il sistema è corretto solo per $x>=0$, condizione per cui puoi eliminare il denominatore.
Viceversa per $x<0$ basta l'esistenza della radice in quanto una frazione con numeratore positivo e denominatore negativo come appunto $sqrt(x^2-2x-3)/x $ è sempre negativa e quindi minore di 5.

Il sistema che hai risolto è corretto. In conclusione, la disequazione è soddisfatta quando esiste la radice. $x<= -1 vv x>=3$