Semplice disequazione fratta...

[kioccolatino90]

Buona giornata, e buona festa della mamma...Ho una disequazione fratta che in parte è risolta però non riesco a capire dov'è l'errore:
la disequazione è:
$x/(sqrt2)+sqrt2/(sqrt2-2)>x-1/(2-sqrt2)$

il primo dubbio è il dominio che secondo me è tutto $RR$, qsr secondo me però...
Lo svolgimento:
$+2x+sqrt2>x(2-sqrt2)-1$
$+2x+sqrt2>2x-sqrt2x-1$
$sqrt2 x>(-sqrt2)+1$ $rArr$ $x>(-sqrt2+1)/sqrt2$

Il risultato che porta il libro è: $x<-(sqrt2+1)$
potete farmi capire dov'è l'errore?

[fireball1]

Questa non è una disequazione fratta, semmai è a coefficienti irrazionali, ma non è fratta, perché la x al denominatore non compare da nessuna parte.
Infatti fai bene a dire che il dominio è tutto [tex]\mathbb{R}[/tex].

Non capisco ad ogni modo cos'hai fatto al primo passaggio... Ti dico solo che se moltiplichi tutta la disequazione
per [tex]\sqrt{2}-2[/tex] devi cambiare il verso, perché si tratta di una quantità negativa.

Riscrivitela così:

[tex]\frac{x}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt2}{2-\sqrt2}> x-\frac{1}{2-\sqrt2}[/tex]

[kioccolatino90]

ah volevo dire che era strana......
Comunque ho trovato il minimo comune multiplo e ho proceduto con la divisione... Ma credo che non va bene... giusto???
Ma il verso non è cambiato alla disequazione, è cambiata solo una meno perchè?

[fireball1]

Ho semplicemente scritto [tex]-(2-\sqrt2)[/tex] al posto di [tex]\sqrt2-2[/tex] e ho portato il meno sopra.

[kioccolatino90]

capito e ora devo procedere con il m.c.m.???

[fireball1]

Sì, la differenza rispetto a prima è che in questo modo non corri il rischio di moltiplicare la disequazione per quantità negative (come $sqrt2-2$) e quindi il verso della disuguaglianza rimane quello.

[kioccolatino90]

scusa non riesco ugualmente a risolverla....allora il m.c.m. è: $2-sqrt2?$

[fireball1]

Il m.c.m è $sqrt2(2-sqrt2)$, che è $>0$, quindi puoi moltiplicare tutto per questa quantità, senza cambiare verso alla disuguaglianza, ottenendo una disuguaglianza equivalente a quella iniziale.

[kioccolatino90]

Ma mi esce un trinomio di secondo grado con soluzioni impossibili...

[@melia]

Non è possibile, i termini sono tutti e solo di primo grado.

[kioccolatino90]

io ho fatto:
$x/sqrt2-sqrt2/(2-sqrt2)>x-1/(2-sqrt2)$
$x(2-sqrt2)-(sqrt2)(sqrt2)>x[sqrt2(2-sqrt2)]-1$
$2x-sqrt2x-2>x(2sqrt2-2)-1$
ho fatto bene fino a quà???

[Gi81]

Hai moltiplicato ambo i membri per $sqrt(2)(2-sqrt(2))$, suppongo
L'ultimo termine però non è corretto... Non è $-1$, ma $-sqrt(2)$

[kioccolatino90]

Si si ho fatto il minimo comune multiplo e ho fatto i vari conti.... hai ragione viene $-sqrt2$ quindi ora posso semplificare con qualcosa ma nn mi sembra però... cosa posso fare?

[kioccolatino90]

secondo me non riesco a risolverla perchè non so qualche proprietà....

[Gi81]

Basta che porti i termini con la $x$ tutti a sinistra, i termini senza $x$ tutti a destra, ed otterrai una disequazione del tipo $ax>b$
Se $a>0$ allora la disequazione diventerà $x>b/a$
Se $a<0$ allora la disequazione diventerà $x

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[kioccolatino90]

ok fatto mi esce: $x>2/(+4-sqrt2-2sqrt2)$ ora non devo appicare la razzionalizzazione del denominatore di una frazione???

[Gi81]

Mi faresti vedere i passaggi che hai fatto per arrivare al risultato? Partendo da
$x(2-sqrt2)-(sqrt2)(sqrt2)>x[sqrt2(2-sqrt2)]-sqrt(2)$
Perchè penso che il risultato che hai scritto non sia giusto

[kioccolatino90]

allora:
$2x-sqrt2x-2>x(2sqrt2-2)-sqrt2$
$2x-sqrt2x-2>2sqrt2x-2x-sqrt2$
$+sqrt2x+2sqrt2x-4x<-2+sqrt2$
$x<(-2+sqrt2)/(sqrt2+2sqrt2-4)$
avevo dimenticato un $-sqrt2$

[Gi81]

ok... il denominatore diventa $3sqrt(2)-4$... se razionalizzi va via un po' di roba e arrivi al risultato

[kioccolatino90]

perchè diventa così il denominatore? cosa hai fatto???

[Gi81]

$sqrt(2)+2sqrt(2)-4=sqrt(2)*[1+2] -4=sqrt(2)*3-4=3sqrt(2)-4$