Semicirconferenza -2-

[chiaretta110]

visto che il problema precedente della semicirconferenza ha avuto molto successo (ah vi ringrazio x la risoluzione) ve ne propongo un altro visto che tanto io non sono capace a risolverlo...
il diametro di AB di una semicirconferenza di centro O misura 2r e il quadrilatero ABCD in essa inscritto ha il lato CD congruente al raggio; si sa inoltre che il punto D è più vicino ad A del punto C. Determinare l'ampiezza 2x dell'angolo AO^D in modo che la somma dei lati opposti AD e BC sia in rapporto 2/3 con la somma degli altri due lati del quadrilatero.

[fireball1]

Posto AOD = 2x, con 0° < x < 90°, per il teorema della corda si ha: AD = 2r*sin(x)
Il triangolo OCD è equilatero, essendo CD = OD = OC = r, quindi
risulta: COD = 60°; conseguentemente si ha: COB = 180° - (60° + 2x) = 120° - 2x,
perciò, sempre per il teorema della corda: BC = 2r*sin(60° - x)
La relazione data dal problema è: (AD + BC)/(AB + CD) = 2/3
Sostituendo i lati con la loro espressione in funzione dell'angolo AOD = 2x,
si ha: (2r*sin(x) + 2r*sin(60° - x))/(3r) = 2/3
Le soluzioni di questa equazione devono rientrare nell'intervallo: 0° < x < 90°
Risolvendo l'equazione, si trova che l'unica soluzione accettabile è x = 30°.
Il problema chiedeva però l'ampiezza 2x dell'angolo AOD, di conseguenza 2x = 60°.