Segno di una funzione.
Buona sera a tutti, ho una domanda!
Se in uno studio di funzione mi capitasse una funzione del genere : $f(x)=sin(x^2)+cos(x)$ da studiare in $[0,2pi]$
Per calcolare il segno della funzione ovviamente avrò $sin(x^2)+cos(x)>0$. Ma come posso risolverla una disequazione goniometrica del genere, a parte il metodo grafico? Oppure che metodo posso impiegare per calcolare il segno?
Grazie a tutti.
Se in uno studio di funzione mi capitasse una funzione del genere : $f(x)=sin(x^2)+cos(x)$ da studiare in $[0,2pi]$
Per calcolare il segno della funzione ovviamente avrò $sin(x^2)+cos(x)>0$. Ma come posso risolverla una disequazione goniometrica del genere, a parte il metodo grafico? Oppure che metodo posso impiegare per calcolare il segno?
Grazie a tutti.
Risposte
Ciao francesco,
io ragionerei così: tra $0$ e $pi/2$ nessun problema: entrambe le funzioni sono maggiori o uguali a zero, anche tra $pi$ e $3/2pi$ nessun problema, sono entrambe negative o al massimo una uguale a 0. I problemi nascono nel II e IV quadrante, dove una è positiva e l'altra negativa, si tratta di vedere chi "vince": se avessimo solo senx sarebbe facile, perchè troveremmo uno 0 in $3/4pi$ dove cioè cosx=-senx, di conseguenza dopo questo valore la funzione è negativa fino a diventare di nuovo 0 in $7/4pi$ per analoghe considerazioni. Sei d'accordo?
Ora noi abbiamo che l'argomento del sen è espresso al quadrato, forse potrebbe essere utile vedere come si comporta il coseno nell'intervallo che a noi interessa, magari esprimendolo in funzione del seno, cosa ne pensi?
io ragionerei così: tra $0$ e $pi/2$ nessun problema: entrambe le funzioni sono maggiori o uguali a zero, anche tra $pi$ e $3/2pi$ nessun problema, sono entrambe negative o al massimo una uguale a 0. I problemi nascono nel II e IV quadrante, dove una è positiva e l'altra negativa, si tratta di vedere chi "vince": se avessimo solo senx sarebbe facile, perchè troveremmo uno 0 in $3/4pi$ dove cioè cosx=-senx, di conseguenza dopo questo valore la funzione è negativa fino a diventare di nuovo 0 in $7/4pi$ per analoghe considerazioni. Sei d'accordo?
Ora noi abbiamo che l'argomento del sen è espresso al quadrato, forse potrebbe essere utile vedere come si comporta il coseno nell'intervallo che a noi interessa, magari esprimendolo in funzione del seno, cosa ne pensi?
Una funzione si può studiare benissimo anche senza studiarne il segno, magari facendo semplicemente qualche considerazione, come ha fatto gio73.
Ma il problema non dovrebbe nascere pure tra $[pi;3/2pi]$? A me risulta che in quest'intervallo $f(x)=sin(x^2)$ assume sia valori positivi e sia valori negativi, mentre il coseno è sempre negativo.
Grazie dell'aiuto.
Grazie dell'aiuto.
Ciao francesco, non ho mai studiato la funzione $f(x)=sen(x^2)$, me la puoi descrivere per favore?
"gio73":
Ciao francesco, non ho mai studiato la funzione $f(x)=sen(x^2)$, me la puoi descrivere per favore?
è abbastanza difficile da descrivere, cercando su internet le funzioni di Fresnel però dovresti trovarlo di persona
Come funzione devo dire che ha un andamento particolare, solo che nell'intervallo $[0;2pi]$ (così come in tutto il suo dominio) ha parecchi massimi, minimi, punti di flesso a tangente obliqua ed intersezioni con l'asse $y=0$, quindi lo studio mi risulterebbe abbastanza lungo 
. Tu che consiglieresti @Obidream??
. Tu che consiglieresti @Obidream??
Mi sembra impossibile da risolvere graficamente, in quanto $f(x)=sin(x^2)$ non è periodica.. Quindi risolvere la disequazione nell'intervallo $[0,2\pi]$ non significa aver risolto completamente la disequazione.. è davvero un bel problema e purtroppo non saprei come fare 
dovrebbero volerti molto male per darti questa funzione da studiare al liceo
dovrebbero volerti molto male per darti questa funzione da studiare al liceo
Ahahahahah . Non mi è stata assegnata dal professore, sfogliando il libro mi ha particolarmente attirato , e devo dire che la sensazione ci ha azzeccato alla grande: non vedi la che c'è! 
. Va bene lo stesso, magari in futuro sarò in grado di risolverla! Grazie a tutti
. Non mi è stata assegnata dal professore, sfogliando il libro mi ha particolarmente attirato , e devo dire che la sensazione ci ha azzeccato alla grande: non vedi la che c'è! . Va bene lo stesso, magari in futuro sarò in grado di risolverla! Grazie a tutti
Provo a buttar lì un'ipotesi. Con le formule di prostaferesi si può arrivare ad un prodotto:
[tex]y=\sin( x^{2})+\cos x=\sin (x^{2})+\sin(\frac{\pi }{2}-x)=2\sin\frac{x^{2}-x+\pi /2}{2}\cos \frac{x^{2}+x-\pi /2}{2}[/tex] ;
a questo punto almeno le soluzioni dell'equazione [tex]y=0[/tex] si possono trovare in modo esatto con l'annullamento del prodotto; quelle della disequazione [tex]y>0[/tex] richiedendo che il seno ed il coseno dell'ultima espressione siano concordi, ovvero che i loro argomenti siano in opportuni intervalli. Non sono arrivato fino in fondo, ma forse si può fare, il problema principale mi pare sia restringere le soluzioni all'intervallo [tex][0, 2\pi ][/tex].
Certo che se è un esercizio in un libro di liceo mi viene il sospetto che ci sia un errore di stampa...
[tex]y=\sin( x^{2})+\cos x=\sin (x^{2})+\sin(\frac{\pi }{2}-x)=2\sin\frac{x^{2}-x+\pi /2}{2}\cos \frac{x^{2}+x-\pi /2}{2}[/tex] ;
a questo punto almeno le soluzioni dell'equazione [tex]y=0[/tex] si possono trovare in modo esatto con l'annullamento del prodotto; quelle della disequazione [tex]y>0[/tex] richiedendo che il seno ed il coseno dell'ultima espressione siano concordi, ovvero che i loro argomenti siano in opportuni intervalli. Non sono arrivato fino in fondo, ma forse si può fare, il problema principale mi pare sia restringere le soluzioni all'intervallo [tex][0, 2\pi ][/tex].
Certo che se è un esercizio in un libro di liceo mi viene il sospetto che ci sia un errore di stampa...
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