Segno del trinomio di II grado. Strana dimostrazione

[silente1]

Carissimi vorrei sottoporVi il modo in cui il mio libro presenta l’analisi del segno di un trinomio di II grado $ax^2+bx+c$ nel caso in cui il discriminante sia negativo.
E’ possibile (sebbene non sia mai successo ) ch’io mi sbagli e chiedoVi dunque conforto

Ci si limita inizialmente solo al caso in cui $a>0$

Per non incorrere in omissioni parto da lontano:

da $ax^2+bx+c=0$

moltiplicando per $4a$ segue

$4a^2x^2+4abx+4ac=0$

Addizionando ad entrambi i membri $b^2$

$4a^2x^2+4abx+4ac+b^2=b^2$

Addizionando a entrambi i membri $(-4ac)$

$4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac$

Dunque
$(2ax+b)^2=b^2-4ac$

Che, con $b^2-4ac $:$=Delta$ si può trasformare in

$(2ax+b)^2-Delta=0$

Da cui segue

$ax^2+bx+c=(2ax+b)^2-Delta $

questa ultima uguaglianza viene utilizzata nella determinazione del segno del trinomio di II grado con $Delta<0$

Supponiamo dunque $Delta<0$
il trinomio di secondo grado si può scrivere nella forma $ax^2+bx+c=(2ax+b)^2-Delta $
poiché qui $Delta$ è negativo il trinomio è positivo per tutti i valori di $x$

Se $a<0$ si cambiano tutti i segni dei coefficienti ed il predicato della disequazione.

Che ne dite? Non è da accusa di empietà?

Ciao

[G.D.5]

Io non ci vedo alcunché di strano.

[silente1]

"WiZaRd":Io non ci vedo alcunché di strano.

No?
Mi sbaglio?

Secondo me la limitazione ad $a>0$ non ha alcuna giustificazione. I passaggi che hanno condotto a
$ax^2+bx+c=(2ax+b)^2-Delta$ si possono fare $AAa!=0$ quindi non vedo perché non si dovrebbe usare
$ax^2+bx+c=(2ax+b)^2-Delta$ con $a<0$.
Se è vera per $a>0$ lo sarà anche per $a<0$. IMHO.

dunque proviamo ad usare questa uguaglianza

Si è detto che (con $Delta<0$)
$ax^2+bx+c>0\ \ \ \AAx$

allora dovrebbe essere

$-(ax^2+bx+c)<0\ \ \ \AAx$

e controlliamone il delta $Delta_2$

$-(ax^2+bx+c)=-ax^2-bx-c$

$Delta_2\ =\ (-b)^2-4(-a)(-c) = b^2-4ac = Delta$ cioè è uguale al delta del primo trinomio dunque è negativo.
Ne segue che
$-(ax^2+bx+c)>0\ \ \ \AAx$ il che è assurdo.


Il problema sta nel fatto che si è usata l'equivalenza tra due equazioni come uguaglianza.
Ciao WiZaRd, e grazie.






[/quote]

[G.D.5]

Beh, ora che me lo fai notare...

[@melia]

L'uguaglianza $ax^2+bx+c=(2ax+b)^2-Delta$ è in generale errata, perché vale solo quando il trinomio si annulla, quella corretta è $4a*(ax^2+bx+c)=(2ax+b)^2-Delta$ che dimostra come il segno dipenda da $a$. Lavorare con un'equazione $ax^2+bx+c=0$, o con un trinomio $ax^2+bx+c=...$, non è esattamente la stessa cosa

[silente1]

Sì,Sì,Sì!!

Però permettimi una cattiveria Amelia

"@melia":L'uguaglianza $ax^2+bx+c=(2ax+b)^2-Delta$ è in generale errata, perché vale solo quando il trinomio si annulla...

Hai affermato che qualsiasi polinomio $(1/4)x^2+bx+c$ si annulla
Ciao, grazie

[@melia]

Certo in $CC$ ogni polinomio si annulla, mi sono solo dimenticata che qui si può parlare solo di $RR$ altrimenti si rischia di essere fraintesi.
Ma arriverai a studiare anche il teorema fondamentale dell'algebra e allora mi darai ragione.
Buona giornata

[silente1]

"@melia":
Ma arriverai a studiare anche il teorema fondamentale dell'algebra e allora mi darai ragione.
Buona giornata

Pur di non darti ragione intorromperei i miei studi :-D

Approfitto per un OT
In vero ho incontrato uno stringato capitoletto (testo ELEMENTI DI MATEMATICA 2 di Dorero Baroncini Trezzi) sui numeri complessi dove ben si giustifica la tua affermazione.
L'ho trovato
1) tecnicamente abbastanza inutile
2) concettualmente inarrivabile a livello intuitivo
sono andato oltre.

Tornando all'argomento di apertura
il tuo ultimo post mi ha messo in costernazione:

"@melia": L'uguaglianza $ax^2+bx+c=(2ax+b)^2-Delta$ è in generale errata, perché vale solo quando il trinomio si annulla:D

questa tua può essere
1) una asserzione in $RR$ e allora è falsa
2) Una asserzione in $CC$
in questo secondo caso allora tutti i polinomi si annullano.
Se tutti i polinomi si annullano e se $ax^2+bx+c=(2ax+b)^2-Delta$ vale quando i polinomi si annullano allora
$ax^2+bx+c=4a(ax^2+bx+c)$ vale sempre ma mi pare non essere affatto una uguaglianza identica.
Ciao @melia; grazie aleph.