Secondo problema di geometria piana da dimostrare.

[Marco241]

Dato il triangolo equilatero ABC di base BC ,siano D il punto simmetrico di B rispetto a C, E il simmetrico di C rispetto ad A,

F il simmetrico di A rispetto a B.

Dimostrare che:

1)i triangoli EAB,DCA,FBC sono congruenti;

suggerimento:osservare che gli angoli esterni in un triangolo equilatero sono...


SVOLGIMENTO:

HP:

$ AB=BC=AC $

$ AE=AC $
$ BC=CD $
$ FB=AB $

TH:

$ I triangoli EAB=DCA=FBC sono congruenti $

Considero i triangoli EAB E DCA essi hanno:

$ AB=AC $ per ipotesi.
$ AE=CD $
$ hat(EAB)=hat(ACD) $ perchè differenze di angoli ordinatamente congruenti sono congruenti.

Dalla congruenza dei due triangoli deduco:

$ BE=AD $
$ hat(EAB)=hat(ACD) $
$ hat(BEA)=hat(ADC) $
$ hat(EBA)=hat(CAD) $

Considero poi i triangoli EAB e FBC essi hanno:

$ AE=BF $
$ AB=BC per ipotesi $
$ hat(EAB)=hat(FBC) $ perchè differenze di angoli ordinatamente congruenti sono congruenti.

Quindi EAB e FBC sono $ congruenti $

E da cio si deduce:

$ BE=FC $
$ hat(AEB)=hat(BFC) $
$ hat(ABE)=hat(BCF) $

Considero poi i triangoli DCA e FBC :

$ AC=BC per ipotesi. $
$ FB=CD $
$ hat(ACD)=hat(FBC) $ perchè differenze di angoli rispettivamente congruenti.

Da ciò si deduce:

$ AD=FC $
$ hat(CAD)=hat(BCF) $
$ hat(CDA)=hat(BFC) $

Abbiamo dimostrato che i tre triangoli sono congruenti.Adesso la seconda parte del problema ci chiede:

2)TH:

$ DE=DF $

SVOLGIMENTO:

Considero i seguenti triangoli: AED ed FCD:

$ CD=EA $
$ AD=FC $
$ hat(EAD)=hat(FCD) $ perchè differenze di angoli ordinatamente congruenti sono congruenti.

Ergo risulta; $ DE=DF $

3) La terza parte del problema ci chiede:

TH: $ DE=FE $

SVOLGIMENTO:

ripeto il ragionamento svolto in precedenza per il punto 2).

Considero i triangoli FEB e AED. Sono congruenti perchè

$ FB=EA $
$ BE=AD $
$ hat(FBE)=hat(EAD) $ perchè differenze di angoli ordinatamente congruenti sono congruenti.

4)L'ultima parte del problema ci chiede:

Com'è il triangolo DEF?

Risposta:equilatero.

Insomma credo di aver fatto tutto giusto però...