Seconda Prova Liceo Scientifico 2015
Qui il link ufficiale alla traccia.
Come vi è sembrato?
E, tanto per curiosità... Qualcuno ha riconosciuto il proprio paese (Lastra a Signa, provincia di Firenze[nota]Come si evince da [url=https://www.google.it/maps/place/Via+Giordano+Bruno,+1,+50055+Lastra+a+Signa+FI/@43.7680409,11.112989,17z/data=!3m1!4b1!4m2!3m1!1s0x132a5bcc7ab8f173:0x2007c693e5451713]Google Maps[/url]...[/nota]) nella figura del primo problema?
Come vi è sembrato?
E, tanto per curiosità... Qualcuno ha riconosciuto il proprio paese (Lastra a Signa, provincia di Firenze[nota]Come si evince da [url=https://www.google.it/maps/place/Via+Giordano+Bruno,+1,+50055+Lastra+a+Signa+FI/@43.7680409,11.112989,17z/data=!3m1!4b1!4m2!3m1!1s0x132a5bcc7ab8f173:0x2007c693e5451713]Google Maps[/url]...[/nota]) nella figura del primo problema?
Risposte
l'ho verificato io che non esiste
e poi ripeto ,abbiamo una $g(x)$ che insieme alla sue derivate prime e seconde deve soddisfare ben $11$ condizioni
mi sembra un po' difficile che un polinomio di quinto grado le soddisfi tutte
e poi ripeto ,abbiamo una $g(x)$ che insieme alla sue derivate prime e seconde deve soddisfare ben $11$ condizioni
mi sembra un po' difficile che un polinomio di quinto grado le soddisfi tutte
LA funzione rappresentata in figura è una polinomiale tale che...determinarla, ecco, se il testo fosse stato così in questo caso avresti fatto bene.
a me sembra palese che si riferisca sempre alla $f$ che deve avere quel grafico e soddisfi tutte le condizioni introdotte prima di sviluppare la domanda del punto 1(quindi,ad esempio,non dice solo che la derivata si annulla almeno 3 volte ma dice anche dove si annulla) e che quindi abbiamo a che fare con un polinomio $g(x)$ che insieme alle sue derivate prime e seconde deve soddisfare 11 condizioni
non so se riesco a spiegarmi : non sta dicendo semplicemente "se la funzione fosse un polinomio che ha derivata che si annulla almeno 3 volte quale grado deve avere come minimo",ma sta dicendo "se la $f$ che abbiamo introdotto prima fosse un polinomio..."
poi,se vogliamo leggerla come ci pare....
comunque,se proprio vogliamo venirci incontro,secondo me il testo è posto male perchè non me la sento di escludere(anche se lo ritengo improbabile) che magari un $g(x)$ con grado minore di $10$ possa comunque verificare tutte le 11 condizioni(magari con qualche equazione combinazione lineare di altre)
la mia risposta deriva dal fatto che di solito si ha tante incognite ,tante condizioni
edit:escludo comunque che vada bene un polinomio $f$ di grado 4
non so se riesco a spiegarmi : non sta dicendo semplicemente "se la funzione fosse un polinomio che ha derivata che si annulla almeno 3 volte quale grado deve avere come minimo",ma sta dicendo "se la $f$ che abbiamo introdotto prima fosse un polinomio..."
poi,se vogliamo leggerla come ci pare....
comunque,se proprio vogliamo venirci incontro,secondo me il testo è posto male perchè non me la sento di escludere(anche se lo ritengo improbabile) che magari un $g(x)$ con grado minore di $10$ possa comunque verificare tutte le 11 condizioni(magari con qualche equazione combinazione lineare di altre)
la mia risposta deriva dal fatto che di solito si ha tante incognite ,tante condizioni
edit:escludo comunque che vada bene un polinomio $f$ di grado 4
Che il testo sia malposto non ci piove, però se davvero come dici tu esistesse qualche polinomio di grado minore che soddisfa le 11 condizioni il problema non sarebbe insolubile? dato che teoricamente non sei sicuro che il grado trovato da te sia il minimo, te hai verificato che 4 non le soddisfa, in teoria quindi per trovare il minimo bisognerebbe vedere se ce n'è qualcuna di grado 5...e poi passare a 6, e se ancora non ci sono passare a 7...e così via...
Cioè, è sicuro che una di grado 9 le soddisfa ma teoricamente non è detto che sia il minimo, o mi sbaglio?
ecco,abbiamo trovato un accordo : secondo me la domanda fa abbastanza schifo
però ripeto, inizia con "nel caso f(x) fosse un polinomio" e secondo me si riferisce alla $f$ introdotta in precedenza
ho risposto $f$ di grado $9$ perchè ritengo probabile che non esista un polinomio di grado minore di $9$ che soddisfi insieme alla sua primitiva tutte le $11$ condizioni
ma mi rendo conto che non è una dimostrazione
comunque,complimenti allo "scienziato" che l'ha ideata
però ripeto, inizia con "nel caso f(x) fosse un polinomio" e secondo me si riferisce alla $f$ introdotta in precedenza
ho risposto $f$ di grado $9$ perchè ritengo probabile che non esista un polinomio di grado minore di $9$ che soddisfi insieme alla sua primitiva tutte le $11$ condizioni
ma mi rendo conto che non è una dimostrazione
comunque,complimenti allo "scienziato" che l'ha ideata
Il testo è quello che è e sebbene di primo acchitto m'è venuto il quarto grado come primitiva (si annulla 3 volte, trae in inganno), l'ho scartato subito dopo vedendo che agli estremi dell'intervallo il polinomio è negativo. Fosse di terzo grado dovrebbe tendere a due infiniti di segno diverso per $x->+\infty$ quindi dopo aver intersecato per 3 volte l'asse $x$ dovrebbe essere positivo da una parte e negativo dall'altra.
Comunque a parte il delirio post giornata lavorativa, non m'è piaciuto per niente il testo del problema 1. Non ho mai sopportato, come ho detto anche nel topic relativo alla simulazione di qualche mesetto fa, i testi logorroici che raccontano storie di vita dove in mezzo c'è nascosto un quesito che per capire il testo ci vuole mezz'ora.
Il sospetto è che - andando a memoria - sia un tantinello più semplice rispetto a quello dell'anno scorso (anche a quello che ho fatto io nell'anno di grazia in cui l'Italia ha vinto il mondiale l'ultima volta, ma in quel caso uno dei due problemi era stupidissimo
).
L'ultimo appunto. Quando si accorgeranno che il "non è consentito lasciare l'Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema" (fondo dell'ultima pagina) non va bene per la seconda prova... e nemmeno per la prima dato che consegnano un foglio?
Comunque a parte il delirio post giornata lavorativa, non m'è piaciuto per niente il testo del problema 1. Non ho mai sopportato, come ho detto anche nel topic relativo alla simulazione di qualche mesetto fa, i testi logorroici che raccontano storie di vita dove in mezzo c'è nascosto un quesito che per capire il testo ci vuole mezz'ora.
Il sospetto è che - andando a memoria - sia un tantinello più semplice rispetto a quello dell'anno scorso (anche a quello che ho fatto io nell'anno di grazia in cui l'Italia ha vinto il mondiale l'ultima volta, ma in quel caso uno dei due problemi era stupidissimo
).L'ultimo appunto. Quando si accorgeranno che il "non è consentito lasciare l'Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema" (fondo dell'ultima pagina) non va bene per la seconda prova... e nemmeno per la prima dato che consegnano un foglio?
comunque ,più la leggo la prima domanda del problema 2 e più rimango interdetto
a questo punto mi viene seriamente il dubbio che con la frase "quale potrebbe essere il suo grado minimo?" intendesse "il grado del polinomio è sicuramente maggiore o uguale di..?(bisogna pure fare l'analisi del testo
)
se è così,mi arrendo alla grossolanità della domanda e rispondo $4$
ma a mio parere le due domande non sono equivalenti perchè per me la prima domanda significa : "quale grado potrebbe(dovrebbe?) avere come minimo la $f$ affinchè possa soddisfare tutte le condizioni imposte ?"
rinnovo i miei complimenti al "genio" che l'ha ideata
a questo punto mi viene seriamente il dubbio che con la frase "quale potrebbe essere il suo grado minimo?" intendesse "il grado del polinomio è sicuramente maggiore o uguale di..?(bisogna pure fare l'analisi del testo
)se è così,mi arrendo alla grossolanità della domanda e rispondo $4$
ma a mio parere le due domande non sono equivalenti perchè per me la prima domanda significa : "quale grado potrebbe(dovrebbe?) avere come minimo la $f$ affinchè possa soddisfare tutte le condizioni imposte ?"
rinnovo i miei complimenti al "genio" che l'ha ideata
Le condizioni proposte sono 10, quindi il polinomio è almeno di grado 9. Qui sotto scrivo come ricavare l'unico polinomio di grado 9 che soddisfa quelle condizioni:
Sia \(\displaystyle p(x) = a_{9}x^{9} + a_{8}x^{8} + a_{7}x^{7}+ a_{6}x^{6}+ a_{5}x^{5}+ a_{4}x^{4} + a_{3}x^3+ a_{2}x^{2}+ a_{1}+ a_{0} \). Allora \(\displaystyle p'(x) = 9a_{9}x^{8} + 8a_{8}x^{7} + 7a_{7}x^{6}+ 6a_{6}x^{5}+ 5a_{5}x^{4}+ 4a_{4}x^{3} + 3a_{3}x^2+ 2a_{2}x+ a_{1} \) e \(\displaystyle g(x) = \frac{a_{9}}{10}x^{10} + \frac{a_{8}}{9}x^{9} + \frac{a_{7}}{8}x^{8}+ \frac{a_{6}}{7}x^{7}+ \frac{a_{5}}{6}x^{6}+ \frac{a_{4}}{5}x^{5} + \frac{a_{3}}{4}x^4+ \frac{a_{2}}{3}x^{3}+ \frac{a_{1}}{2}x^{2}+ a_0x - 1 \)
Le condizioni sono
(1) \(\displaystyle 0 = p(-2) = 512a_{9} + 256a_{8} - 128a_{7}+ 64a_{6}- 32a_{5}+ 16a_{4} - 8a_{3}+ 4a_{2}-2a_{1} + a_{0} \)
(2) \(\displaystyle 0 = p(0) = a_{0} \)
(3) \(\displaystyle 0 = p(2) = 512a_{9} + 256a_{8} + 128a_{7}+ 64a_{6}+ 32a_{5}+ 16a_{4} + 8a_{3}+ 4a_{2}+2a_{1} + a_{0} \)
(4) \(\displaystyle 0 = p'(-1) = 9a_{9} - 8a_{8} + 7a_{7} - 6a_{6} + 5a_{5} - 4a_{4} + 3a_{3} - 2a_{2} + a_{1}\)
(5) \(\displaystyle 0 = p'(1) = 9a_{9} + 8a_{8} + 7a_{7} + 6a_{6} + 5a_{5} + 4a_{4} + 3a_{3} + 2a_{2} + a_{1}\)
(6) \(\displaystyle 0 = p'(2) = 2304a_{9} + 1024a_{8} + 448a_{7} + 192a_{6} + 80a_{5} + 32a_{4} + 12a_{3} + 4a_{2} + a_{1}\)
(7) \(\displaystyle -2 = g(-3) \)
(8) \(\displaystyle -4 = g(-2) \)
(9) \(\displaystyle -4 = g(2) \)
(10) \(\displaystyle -5 = g(3) \)
Le ultime condizioni non le ho scritte perché cominciava ad essere tedioso. Per risolverlo "basta" risolvere il sistema lineare \(\displaystyle 10\times 10 \) nelle \(\displaystyle a_i \).
Sia \(\displaystyle p(x) = a_{9}x^{9} + a_{8}x^{8} + a_{7}x^{7}+ a_{6}x^{6}+ a_{5}x^{5}+ a_{4}x^{4} + a_{3}x^3+ a_{2}x^{2}+ a_{1}+ a_{0} \). Allora \(\displaystyle p'(x) = 9a_{9}x^{8} + 8a_{8}x^{7} + 7a_{7}x^{6}+ 6a_{6}x^{5}+ 5a_{5}x^{4}+ 4a_{4}x^{3} + 3a_{3}x^2+ 2a_{2}x+ a_{1} \) e \(\displaystyle g(x) = \frac{a_{9}}{10}x^{10} + \frac{a_{8}}{9}x^{9} + \frac{a_{7}}{8}x^{8}+ \frac{a_{6}}{7}x^{7}+ \frac{a_{5}}{6}x^{6}+ \frac{a_{4}}{5}x^{5} + \frac{a_{3}}{4}x^4+ \frac{a_{2}}{3}x^{3}+ \frac{a_{1}}{2}x^{2}+ a_0x - 1 \)
Le condizioni sono
(1) \(\displaystyle 0 = p(-2) = 512a_{9} + 256a_{8} - 128a_{7}+ 64a_{6}- 32a_{5}+ 16a_{4} - 8a_{3}+ 4a_{2}-2a_{1} + a_{0} \)
(2) \(\displaystyle 0 = p(0) = a_{0} \)
(3) \(\displaystyle 0 = p(2) = 512a_{9} + 256a_{8} + 128a_{7}+ 64a_{6}+ 32a_{5}+ 16a_{4} + 8a_{3}+ 4a_{2}+2a_{1} + a_{0} \)
(4) \(\displaystyle 0 = p'(-1) = 9a_{9} - 8a_{8} + 7a_{7} - 6a_{6} + 5a_{5} - 4a_{4} + 3a_{3} - 2a_{2} + a_{1}\)
(5) \(\displaystyle 0 = p'(1) = 9a_{9} + 8a_{8} + 7a_{7} + 6a_{6} + 5a_{5} + 4a_{4} + 3a_{3} + 2a_{2} + a_{1}\)
(6) \(\displaystyle 0 = p'(2) = 2304a_{9} + 1024a_{8} + 448a_{7} + 192a_{6} + 80a_{5} + 32a_{4} + 12a_{3} + 4a_{2} + a_{1}\)
(7) \(\displaystyle -2 = g(-3) \)
(8) \(\displaystyle -4 = g(-2) \)
(9) \(\displaystyle -4 = g(2) \)
(10) \(\displaystyle -5 = g(3) \)
Le ultime condizioni non le ho scritte perché cominciava ad essere tedioso. Per risolverlo "basta" risolvere il sistema lineare \(\displaystyle 10\times 10 \) nelle \(\displaystyle a_i \).
ecco ,allora avevo ragione 
mi permetto solo di insistere sul fatto che le condizioni sono 11 e proprio per questo $g(x)$ è di grado 10 ed $f(x)$ di grado 9
le enuncio dal "punto di vista " della $g(x)$:
$g(3)=-5$
$g(2)=-4$
$g(0)=-1$
$g(-2)=-4$
$g(-3)=-2$
$g'(-2)=0$
$g'(0)=0$
$g'(2)=0$
$g''(2)=0$
$g''(-1)=0$
$g''(1)=0$
edit : permettetemi la soddisfazione di essere stato uno dei pochi in italia(a giudicare da quello che ho letto navigando ) ad avere risposto correttamente alla domanda 1,della quale continuo comunque a pensare tutto il male possibile
mi permetto solo di insistere sul fatto che le condizioni sono 11 e proprio per questo $g(x)$ è di grado 10 ed $f(x)$ di grado 9
le enuncio dal "punto di vista " della $g(x)$:
$g(3)=-5$
$g(2)=-4$
$g(0)=-1$
$g(-2)=-4$
$g(-3)=-2$
$g'(-2)=0$
$g'(0)=0$
$g'(2)=0$
$g''(2)=0$
$g''(-1)=0$
$g''(1)=0$
edit : permettetemi la soddisfazione di essere stato uno dei pochi in italia(a giudicare da quello che ho letto navigando ) ad avere risposto correttamente alla domanda 1,della quale continuo comunque a pensare tutto il male possibile
Sì, ma se non fossero tutte indipendenti? Voglio dire, ad esempio, che posso imporre 15 condizioni (compatibili) sull'equazione di una parabola, ma questo non ne fa un polinomio di grado superiore al secondo. Visto che il calcolo matriciale non è previsto dai programmi del liceo scientifico, va da sé che lo studente che avesse voluto affrontare fino in fondo la questione avrebbe dovuto cimentarsi nella faraonica impresa di risolvere il sistema di undici equazioni per verificare il fatto che fosse determinato o no.
Quindi resto della mia idea: dal grafico l'unica garanzia che si può ottenere è che il polinomio sia di grado non inferiore al quarto. E comunque sono d'accordo sul fatto che la domanda fosse mal posta.
Quindi resto della mia idea: dal grafico l'unica garanzia che si può ottenere è che il polinomio sia di grado non inferiore al quarto. E comunque sono d'accordo sul fatto che la domanda fosse mal posta.
"Palliit":
Visto che il calcolo matriciale non è previsto dai programmi del liceo scientifico, va da sé che lo studente che avesse voluto affrontare fino in fondo la questione avrebbe dovuto cimentarsi nella faraonica impresa di risolvere il sistema di undici equazioni per verificare il fatto che fosse determinato o no.
proprio per questo motivo la domanda è pessima
forse se ne è accorto anche chi l'ha ideata,nel momento in cui la scriveva : per questo ha detto "potrebbe" e non "deve"
nel senso che lo studente avrebbe dovuto scrivere :"Non potendo svolgere i calcoli,mi limito a dire che ho la forte sensazione che la $f$ debba essere come minimo di grado 9"
la scuola è in buone mani : incompetenza a tutti i livelli (ad esempio,un certo numero di insegnanti dovrebbe cambiare mestiere),concorsi per dirigente scolastico sotto inchiesta della magistratura,calcinacci in testa ai ragazzi,etc...
quindi,in conclusione ,se l'intenzione dello "scienziato" era quella di avere come risposta $4$,doveva disegnare solo il grafico senza riferimenti numerici ;in quel caso avrebbe potuto anche sostituire l'imbarazzante "potrebbe" con "deve"
poi,prima della domanda 2,doveva imporre le condizioni
poi,prima della domanda 2,doveva imporre le condizioni
Vi riporto la mia esperienza.
Anche io ero molto diffidente sul fatto del 4° grado ed ho chiesto alla professoressa, illustrandogli un ragionamento non così rigido come quello di quantunquemente. Fatto sta che non sapeva cosa rispondere. È tornata dopo qualche ora e mi ha detto che la funzione era di quarto grado e di non preoccuparmi. Visto anche gli altri punti del problema, se la soluzione aspettata dal miur fosse quella di quantunquemente, sarebbe uno scandalo.
Anche io ero molto diffidente sul fatto del 4° grado ed ho chiesto alla professoressa, illustrandogli un ragionamento non così rigido come quello di quantunquemente. Fatto sta che non sapeva cosa rispondere. È tornata dopo qualche ora e mi ha detto che la funzione era di quarto grado e di non preoccuparmi. Visto anche gli altri punti del problema, se la soluzione aspettata dal miur fosse quella di quantunquemente, sarebbe uno scandalo.
non darmi questa responsabiltà,ti prego
non preoccuparti,è molto probabile che,erroneamente,volessero proprio come risposta $4$
del resto,non sarebbe la prima volta che in una traccia di maturità venisse formulata male una domanda
comunque, le altre tre domande sono indipendenti dalla prima e queste ,sì,sono carine,soprattutto l'ultima
non preoccuparti,è molto probabile che,erroneamente,volessero proprio come risposta $4$
del resto,non sarebbe la prima volta che in una traccia di maturità venisse formulata male una domanda
comunque, le altre tre domande sono indipendenti dalla prima e queste ,sì,sono carine,soprattutto l'ultima
"xAle":
Vi riporto la mia esperienza.
Anche io ero molto diffidente sul fatto del 4° grado ed ho chiesto alla professoressa, illustrandogli un ragionamento non così rigido come quello di quantunquemente. Fatto sta che non sapeva cosa rispondere. È tornata dopo qualche ora e mi ha detto che la funzione era di quarto grado e di non preoccuparmi. Visto anche gli altri punti del problema, se la soluzione aspettata dal miur fosse quella di quantunquemente, sarebbe uno scandalo.
Idem, ho chiesto chiarimenti su questo punto e la prof mi ha praticamente indirizzato verso questa soluzione. Questo problema va dritto dritto in questa lista
.Per il resto, prova molto facile.
ribadisco,la mia intenzione non è quella di creare polveroni
ho introdotto la questione solo per avere un confronto con persone che ne sanno più di me ,come vict85,ed avere la conferma di avere inquadrato bene il problema
e ripeto, non preoccupatevi,il compito lo corregge chi vi ha dato il suggerimento
e già il fatto che gli insegnanti suggeriscano è indice della serietà dell'esame di maturità
mi chiedo se abbia ancora senso;io lo abolirei,e terrei conto della media degli studenti di tutti e cinque gli anni
ho introdotto la questione solo per avere un confronto con persone che ne sanno più di me ,come vict85,ed avere la conferma di avere inquadrato bene il problema
e ripeto, non preoccupatevi,il compito lo corregge chi vi ha dato il suggerimento
e già il fatto che gli insegnanti suggeriscano è indice della serietà dell'esame di maturità
mi chiedo se abbia ancora senso;io lo abolirei,e terrei conto della media degli studenti di tutti e cinque gli anni
"quantunquemente":
ribadisco,la mia intenzione non è quella di creare polveroni
ho introdotto la questione solo per avere un confronto con persone che ne sanno più di me ,come vict85,ed avere la conferma di avere inquadrato bene il problema
e ripeto, non preoccupatevi,che sicuramente passerà la mozione del $4$
Nono hai fatto bene, in prova ho tentato di trovare il polinomio tuttavia mi è sembrato piuttosto arduo[nota]non mi piace fare tanti calcoli, se avessi dovuto risolvere un sistema $10x10$ sarei passato, seppur a malincuore, al primo problema
[/nota] e non avevo preso in considerazione i dati riguardanti $g(x)$. Grazie per l'osservazione, è stata molto preziosa 
Certamente. Si gli altri tre punti del problema erano interessanti, ma nulla a che vedere con la profondità di ragionamento che richiedeva il primo punto se si voleva dare una disposta corretta e pertinente alla domanda. Per fortuna me lo correggerà una che mi ha detto di lasciare perdere il problema perchè anche lei non era riuscita a svolgerlo 
. Se passa di qui per guardare le soluzioni, le porgo i miei cari saluti!
. Se passa di qui per guardare le soluzioni, le porgo i miei cari saluti!
"xAle":
Certamente. Si gli altri tre punti del problema erano interessanti, ma nulla a che vedere con la profondità di ragionamento che richiedeva il primo punto se si voleva dare una disposta corretta e pertinente alla domanda. Per fortuna me lo correggerà una che mi ha detto di lasciare perdere il problema perchè anche lei non era riuscita a svolgerlo
Concordo, sarebbe stato un gran bel problema se fosse stato posto correttamente
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