Scrivere polinomio date le sue radici
Date tutte le radici di un polinomio di qualsiasi grado (ovvero dell'equazione a esso associata polinomio=0),
sapendo che il grado del polinomio è uguale al numero di radici, come si fa a scrivere la scomposizione del polinomio? Come si dimostra?
Su internet ho trovato solo la formula per i polinomi di secondo grado [tex]a(x-x_1)(x-x_2)[/tex]. A me interesserebbe la formula (ed eventuale dimostrazione) per polinomi di qualsiasi grado.
Esempio:
Sapendo che le radici di un polinomio di terzo grado sono: 0,1,2, scrivere il polinomio scomposto in fattori
sapendo che il grado del polinomio è uguale al numero di radici, come si fa a scrivere la scomposizione del polinomio? Come si dimostra?
Su internet ho trovato solo la formula per i polinomi di secondo grado [tex]a(x-x_1)(x-x_2)[/tex]. A me interesserebbe la formula (ed eventuale dimostrazione) per polinomi di qualsiasi grado.
Esempio:
Sapendo che le radici di un polinomio di terzo grado sono: 0,1,2, scrivere il polinomio scomposto in fattori
Risposte
In generale se hai le $n$ radici $x_1, ... ,x_n$ di un polinomio di $n$-esimo grado, puoi scriverlo in questo modo:
$a(x-x_1)*...*(x-x_n)$
dove $a$ è un numero reale.
Questa cosa puoi farla solo se il numero di radici è uguale al grado del polinomio. Ti faccio un esempio per spiegarti perchè:
i polinomi $(x-1)(x^2+1)$ e $x-1$ hanno le stesse radici reali ($x=1$ perchè $x^2+1$ non è scomponibile), ma due gradi diversi.
Paola
$a(x-x_1)*...*(x-x_n)$
dove $a$ è un numero reale.
Questa cosa puoi farla solo se il numero di radici è uguale al grado del polinomio. Ti faccio un esempio per spiegarti perchè:
i polinomi $(x-1)(x^2+1)$ e $x-1$ hanno le stesse radici reali ($x=1$ perchè $x^2+1$ non è scomponibile), ma due gradi diversi.
Paola
Ti ringrazio, altre due domande:
1) Ovviamente un altra scomposizione è quella che ha tutti i segni cambiati giusto?
2) Devo conoscere per forza il coefficente del termine di grado massimo, non bastano le radici?
Lo chiedo perchè nel libro c'è questa matrice
$((1,0,0),(1,2,0),(1,-1,0))$
I suoi autovalori sono: 1,2,0. Siccome gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico, una scomposizione del polinomio caratteristico è
$x(t) = (0-t)(1-t)(2-t)$
Che sviluppato dà : $t^3-t^2-2t$. Ora come faceva a sapere che $a=1$?
1) Ovviamente un altra scomposizione è quella che ha tutti i segni cambiati giusto?
2) Devo conoscere per forza il coefficente del termine di grado massimo, non bastano le radici?
Lo chiedo perchè nel libro c'è questa matrice
$((1,0,0),(1,2,0),(1,-1,0))$
I suoi autovalori sono: 1,2,0. Siccome gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico, una scomposizione del polinomio caratteristico è
$x(t) = (0-t)(1-t)(2-t)$
Che sviluppato dà : $t^3-t^2-2t$. Ora come faceva a sapere che $a=1$?
1) Cambiando alcuni o tutti i segni ottieni comunque un polinomio che ha quelle radici, quindi se l'esercizio ti chiede "scrivere un polinomio di grado n che abbia le radici $x_1,...,x_n$" va bene anche fare la scomposizione con alcuni fattori di segno scambiato rispetto a quella che ti ho mostrato io.
2) Si mette un $a$ generico per dare una soluzione più generale, se la richiesta dell'es. è quella del mio punto 1) va bene anche $a=1$.
Nell'esercizio degli autovalori non importa il coefficiente direttore, tanto ti interessano gli zeri di quel polinomio.
Paola
2) Si mette un $a$ generico per dare una soluzione più generale, se la richiesta dell'es. è quella del mio punto 1) va bene anche $a=1$.
Nell'esercizio degli autovalori non importa il coefficiente direttore, tanto ti interessano gli zeri di quel polinomio.
Paola
Ho compreso, ti ringrazio molto 
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