Scomposizione trinomio
Di quale caso di scomposizione in fattori si tratta....ho dei dubbi!
Scomponiamo il seguente polinomio:
$a^10 - a^5b^5 + b^10$
io ci sono riuscito cosi:
$(a^10 - a^5b^5 + b^10)/(a^2 - ab + b^2) = a^8 + a^7b - a^5b^3 - a^4b^4 - a^3b^5 + ab^7 + b^8$
$a^10 - a^5b^5 + b^10 = (a^2 - ab + b^2)(a^8 + a^7b - a^5b^3 - a^4b^4 - a^3b^5 + ab^7 + b^8)$
Se qualcuno mi delucidasse....
Grazie
Scomponiamo il seguente polinomio:
$a^10 - a^5b^5 + b^10$
io ci sono riuscito cosi:
$(a^10 - a^5b^5 + b^10)/(a^2 - ab + b^2) = a^8 + a^7b - a^5b^3 - a^4b^4 - a^3b^5 + ab^7 + b^8$
$a^10 - a^5b^5 + b^10 = (a^2 - ab + b^2)(a^8 + a^7b - a^5b^3 - a^4b^4 - a^3b^5 + ab^7 + b^8)$
Se qualcuno mi delucidasse....
Grazie
Risposte
E' molto più semplice di come credi 
Sai cos'è il raccoglimento parziale?
Sai cos'è il raccoglimento parziale?
"Titania":Vuoi spiegarti? Marcus112 ha proposto lo stesso problema, con lo stesso titolo, un po' di tempo fa e avevo postato una risposta che evidentemente non gli è piaciuta, anche perchè era complicata. Io non vedo proprio soluzioni semplici.
E' molto più semplice di come credi
Sai cos'è il raccoglimento parziale?
"giammaria":
Vuoi spiegarti?
C'è poco da spiegare, ho fatto io male i calcoli.
Ora penso a qualcosa di sensato... sorry!
Ci sono! Grazie, Titania, per avermi stuzzicato. Indicando con P il polinomio, si ha
$P*(a+b)=a^11+a^10 b-a^6b^5-a^5b^6+ab^10+b^11=$
Raccolgo ora a gruppi: il primo col quarto, il secondo col penultimo, il terzo con l'ultimo
$=a^5(a^6-b^6)+ab(a^9+b^9)-b^5(a^6-b^6)=$
$=a^5(a^3+b^3)(a^3-b^3)+ab(a^3+b^3)(a^6-a^3b^3+b^6)-b^5(a^3+b^3)(a^3-b^3)$
A questo punto metto in evidenza $(a^3+b^3)$ e i calcoli successivi sono ovvii.
$P*(a+b)=a^11+a^10 b-a^6b^5-a^5b^6+ab^10+b^11=$
Raccolgo ora a gruppi: il primo col quarto, il secondo col penultimo, il terzo con l'ultimo
$=a^5(a^6-b^6)+ab(a^9+b^9)-b^5(a^6-b^6)=$
$=a^5(a^3+b^3)(a^3-b^3)+ab(a^3+b^3)(a^6-a^3b^3+b^6)-b^5(a^3+b^3)(a^3-b^3)$
A questo punto metto in evidenza $(a^3+b^3)$ e i calcoli successivi sono ovvii.
A me non sembra, facendo i calcoli, che venga fuori il polinomio da da me presentato:
$a^10-a^5b^5+b^10$
Penso ancora di avere dei dubbi....
Grazie
$a^10-a^5b^5+b^10$
Penso ancora di avere dei dubbi....
Grazie
Il tuo trinomio è quello che io ho chiamato P: se provi a moltiplicarlo per (a+b) trovi proprio la mia prima riga. Nei calcoli finali che ho omesso c'è anche $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ e il divedere il risultato ottenuto per (a+b)
Ho controllato e fatto i calcoli è come dici tu.... anche dividendo, come avevo fatto io, il trinomio per $a^2-ab+b^2$ si ottiene lo stesso risultato;
ma la cosa che non mi è ancora chiara è questa:
di quale caso di scomposizione in fattori si tratta....ho dei dubbi!
Come hai ,per esempio, intuito che moltiplicando per $(a+b)$ il polinomio dato, eseguendo i calcoli e alla fine dividendo per $(a+b)$ si sarebbe ottenuta la scomposizione?
C'è qualche regola che mi sfugge?...
ma la cosa che non mi è ancora chiara è questa:
di quale caso di scomposizione in fattori si tratta....ho dei dubbi!
Come hai ,per esempio, intuito che moltiplicando per $(a+b)$ il polinomio dato, eseguendo i calcoli e alla fine dividendo per $(a+b)$ si sarebbe ottenuta la scomposizione?
C'è qualche regola che mi sfugge?...
No, non ci sono regole: quelle che esistono permettono la scomposizione solo nei casi facili, mentre in quelli complicati si può solo andare per tentativi e sperare di riuscirci. Ad esempio: è facile fare il prodotto $(3x^2-x+2)(2x^2-3x-6)$ ma quasi impossibile, in assenza di altre indicazioni, scomporre in fattori il risultato trovato.
Mi chiedi come ho intuito di fare la moltiplicazione e ti spiego il mio ragionamento. E' difficile indovinare un divisore che sia un trinomio, mentre è più facile per i binomi: visto che nel risultato c'era $a^2-ab+b^2$ e pensando ai prodotti notevoli ho ritenuto che moltiplicando per (a+b) avrei ottenuto un divisore binomiale e quindi più facile da trovare.
Se non avessi saputo il risultato avrei dovuto andare per tentativi ed è un metodo lungo, noioso e non facile; oppure, notando che la formula è simmetrica nelle due lettere e sapendo che spesso in casi di simmetria è di aiuto porre s=a+b e p=ab lo avrei fatto: è all'incirca la soluzione che ho dato nell'altro tuo topic.
Mi chiedi come ho intuito di fare la moltiplicazione e ti spiego il mio ragionamento. E' difficile indovinare un divisore che sia un trinomio, mentre è più facile per i binomi: visto che nel risultato c'era $a^2-ab+b^2$ e pensando ai prodotti notevoli ho ritenuto che moltiplicando per (a+b) avrei ottenuto un divisore binomiale e quindi più facile da trovare.
Se non avessi saputo il risultato avrei dovuto andare per tentativi ed è un metodo lungo, noioso e non facile; oppure, notando che la formula è simmetrica nelle due lettere e sapendo che spesso in casi di simmetria è di aiuto porre s=a+b e p=ab lo avrei fatto: è all'incirca la soluzione che ho dato nell'altro tuo topic.
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