Scomposizione polinomio x^4-x^3+x^2-x+2

[zazzarini]

E' possibile scomprorre il polinomio x^4-x^3+x^2-x+2 o dimostrare algebricamente che è sempre positivo per qualunque valore di x ?

[@melia]

Il teorema di Ruffini mi assicura che non ci sono zeri razionali.
Siccome non so che classe fai e quindi non so che strumenti posso utilizzare cerco di risolvere il problema con l'algebra elementare cercando il completamento dei quadrati:
$x^4-x^3+x^2-x+2=(x^4-x^3+1/4x^2)+3/4x^2-x+2=(x^2+1/2x)^2+3/4(x^2-4/3x+4/9)-1/3+2=(x^2+1/2x)^2+3/4(x-2/3)^2+5/3$
Il polinomio essendo formato dalla somma di due quadrati e un termine sempre positivo è sempre positivo

[zazzarini]

"@melia":Il teorema di Ruffini mi assicura che non ci sono zeri razionali.
Siccome non so che classe fai e quindi non so che strumenti posso utilizzare cerco di risolvere il problema con l'algebra elementare cercando il completamento dei quadrati:
$x^4-x^3+x^2-x+2=(x^4-x^3+1/4x^2)+3/4x^2-x+2=(x^2+1/2x)^2+3/4(x^2-4/3x+4/9)-1/3+2=(x^2+1/2x)^2+3/4(x-2/3)^2+5/3$
Il polinomio essendo formato dalla somma di due quadrati e un termine sempre positivo è sempre positivo

Era proprio ciò che mi interessava conoscere. Sono curioso di sapere come sei riuscito a trovare i coefficienti dei due quadrati.
Grazie mille.

[@melia]

Ho fatto qualche tentativo cercando di inglobare i termini negativi nel doppio prodotto.

[Tul1]

Un altro modo, forse più semplice, può essere: $x^4-x^3+x^2-x+2=(x^4-x^3+1)+(x^2-x+1)$.Il secondo membro è un falso quadrato quindi è positivo. Il primo si vede a occhio che è positivo facendo 3 casi ($x<0,01$)!

[zazzarini]

"@melia":Il teorema di Ruffini mi assicura che non ci sono zeri razionali.
Siccome non so che classe fai e quindi non so che strumenti posso utilizzare cerco di risolvere il problema con l'algebra elementare cercando il completamento dei quadrati:
$x^4-x^3+x^2-x+2=(x^4-x^3+1/4x^2)+3/4x^2-x+2=(x^2+1/2x)^2+3/4(x^2-4/3x+4/9)-1/3+2=(x^2+1/2x)^2+3/4(x-2/3)^2+5/3$
Il polinomio essendo formato dalla somma di due quadrati e un termine sempre positivo è sempre positivo

Mi sono accorto di un piccolo errore: il primo quadrato, se non ho errato nei calcoli, dovrebbe essere (x^2-1/2)^2 e non (x^2+1/2x)^2

[@melia]

Hai ragione, ho sbagliato io a scrivere.

[giammaria2]

"Tul": Il primo si vede a occhio che è positivo facendo 3 casi

Due casi mi sono chiari, ma che ragionamento hai fatto per 0

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[Tul1]

"giammaria":Due casi mi sono chiari, ma che ragionamento hai fatto per 0
Tra zero e uno $x^4x^3$, quindi $x^4-x^3+1>0$ no?
P.s.: ho editato un errore nel mio post precedente il terzo caso era ovviamente $x>1$ non $x<1$!

[giammaria2]

Grazie Tul, a me è venuto in mente in ritardo. Ottima soluzione!

[zazzarini]

"@melia":Il teorema di Ruffini mi assicura che non ci sono zeri razionali.
Siccome non so che classe fai e quindi non so che strumenti posso utilizzare cerco di risolvere il problema con l'algebra elementare cercando il completamento dei quadrati:
$x^4-x^3+x^2-x+2=(x^4-x^3+1/4x^2)+3/4x^2-x+2=(x^2+1/2x)^2+3/4(x^2-4/3x+4/9)-1/3+2=(x^2+1/2x)^2+3/4(x-2/3)^2+5/3$
Il polinomio essendo formato dalla somma di due quadrati e un termine sempre positivo è sempre positivo

Se il polinomio di quarto grado non è scomponibile con Ruffini, significa anche che non è riducibile al prodotto di due o più polinomi o solamente che non ci sono zeri ?
Grazie.

[adaBTTLS1]

se non è scomponibile con Ruffini significa solo che non ci sono zeri razionali.
potrebbe ad esempio essere scomposto nel prodotto tra due polinomi di secondo grado, ed avere oppure no degli zeri irrazionali.

[zazzarini]

"adaBTTLS":se non è scomponibile con Ruffini significa solo che non ci sono zeri razionali.
potrebbe ad esempio essere scomposto nel prodotto tra due polinomi di secondo grado, ed avere oppure no degli zeri irrazionali.

Grazie

[adaBTTLS1]

prego.

[Tul1]

"giammaria":Grazie Tul, a me è venuto in mente in ritardo. Ottima soluzione!

Grazie!