Scomposizione polinomio terzo grado

[gnappo90]

una domanda; il polinomio $x^3 -x-1$ è scomponibile?

[_prime_number]

Essendo un polinomio di terzo grado, hai la certezza che abbia almeno una radice reale.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^3%E2%88%92x%E2%88%921+%3D0 qui puoi vedere che ha solo una radice reale e che essa non è intera, per cui non avresti potuto trovarla con i metodi "classici", tipo Ruffini.

Paola

[Andrea902]

"prime_number":Essendo un polinomio di terzo grado, hai la certezza che abbia almeno una radice reale.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^3%E2%88%92x%E2%88%921+%3D0 qui puoi vedere che ha solo una radice reale e che essa non è intera, per cui non avresti potuto trovarla con i metodi "classici", tipo Ruffini.

Paola

In realtà con il metodo di Ruffini si possono trovare, in generale, tutti e soli gli eventuali zeri reali razionali (e quindi non solo interi). Qui il problema è che lo zero non è razionale!
Quindi il polinomio è scomponibile nel prodotto di un fattore di primo grado ed uno di secondo grado irriducibile. Se lo zero di cui sopra lo denotiamo con $\alpha$ (non puoi conoscerlo esattamente, perché di certo non avrai studiato la formula risolutiva delle equazioni di terzo grado), riesce che: $x^3-x-1=(x-\alpha)(ax^2+bx^2+c)$, con $a,b,c\in\mathbb{R}$ opportuni tali che $b^2-4ac<0$ (condizione di discriminante negativo).