Scomposizione polinomio

[marcus1121]

Come si può scomporre questo polinomio...

$a^12 - a^9b^3 + a^6b^6 - a^3b^9 + b^12$


Grazie

[giammaria2]

L'esercizio è cattivello; trovi la soluzione notando che $a^12+b^12$ è la somma di due cubi. Scomponila come tale, e il resto non dovrabbe darti difficoltà.

[marcus1121]

seguendo il tuo consiglio verrebbe così:

$a^12 - a^9b^3 + a^6b^6 - a^3b^9 + b^12=(a^4 + b^4)(a^8 - a^4b^4 + b^8)- a^3b^3(a^6 - a^3b^3 + b^6)$

ma penso che no sia questa la scomposizione giusta...

grazie per l'interesse.

[giammaria2]

Hai ragione: avevo fatto i calcoli solo a mente, senza badare troppo agli esponenti. Penserò a qualcos'altro.

[@melia]

Io una scomposizione l'ho trovata, non vi dico come perché il metodo non è molto ortodosso, ma ha i coefficienti irrazionali
$(a^6-(1+sqrt5)/2a^3b^3+b^6)(a^6-(1-sqrt5)/2a^3b^3+b^6)$
se si accettano coefficienti irrazionali dovrebbe essere ulteriormente scomponibile, ma non riesco a trovare le ulteriori scomposizioni.

[*v.tondi]

Guardate questa: $(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)*(a^8+a^7b-a^5b^3-a^4b^4-a^3b^5+ab^7+b^8)$. Ragazzi non chiedetemi perchè, in quanto me lo ha fattorizzato il software Mathematica 4. Fatemi sapere comunque.
Ciao.

[marcus1121]

Quindi la scomposizione in fattori di alcuni polinomi in alcuni casi risulta molto difficile e probabilmente non tutti ci riuscirebbero con i classici
metodi....esistono altri metodi oltre a quelli tradizionali o è un prenderci dopo molti tentativi?
Inoltre quali sono i tipi di scomposizione che servono di più nell'affrontare gli argomenti successivi ...tipo: equazioni ecc.?

Grazie

[franced]

Si ha

[tex]a^{12} - a^9 b^3 + a^6 b^6 - a^3 b^9 + b^{12} =[/tex]

[tex](a^4 - a^3 b + a^2 b^2 - a b^3 + b^4) (a^8 + a^7 b - a^5 b^3 - a^4 b^4 - a^3 b^5 + a b^7 + b^8)[/tex]

Faccio osservare che il polinomio nella prima parentesi (ovvero [tex]a^4 - a^3 b + a^2 b^2 - a b^3 + b^4[/tex])
si ottiene dal polinomio iniziale dividendo per 3 tutti gli esponenti.