Scomposizione polinomi
Ho questo polinomio da scomporre: $x^4-16x^3+44x^2+60x-176$ che volendo si potrebbe risolvere con ruffini ma l'esercizio chiede un metodo alternativo. Come si potrebbe scomporre? Potete aiutarmi per favore? Grazie in anticipo.
Risposte
Quale sarebbe il testo originale (completo) ? È un esercizio in quale contesto ?
"axpgn":
Quale sarebbe il testo originale (completo) ? È un esercizio in quale contesto ?
E' un'equazione non ho scritto =0 alla fine comunque è solo quello il testo, magari bisogna usare qualche formula particolare.
Hai scritto questo
quindi deciditi: o è solo un'equazione di quarto grado oppure proviene da qualche esercizio il cui testo non è solo quello; inoltre sarebbe molto utile capire il contesto ovvero quale sezione del libro attiene a questo problema.
Consiglio: la precisione in Matematica è abbastanza importante, fidati ...
"olegfresi":
... si potrebbe risolvere con ruffini ma l'esercizio chiede un metodo alternativo.
quindi deciditi: o è solo un'equazione di quarto grado oppure proviene da qualche esercizio il cui testo non è solo quello; inoltre sarebbe molto utile capire il contesto ovvero quale sezione del libro attiene a questo problema.
Consiglio: la precisione in Matematica è abbastanza importante, fidati ...
"axpgn":
Hai scritto questo [quote="olegfresi"]... si potrebbe risolvere con ruffini ma l'esercizio chiede un metodo alternativo.
quindi deciditi: o è solo un'equazione di quarto grado oppure proviene da qualche esercizio il cui testo non è solo quello; inoltre sarebbe molto utile capire il contesto ovvero quale sezione del libro attiene a questo problema.
Consiglio: la precisione in Matematica è abbastanza importante, fidati ...
[/quote]E' un'equazione di quarto grado nella sezione delle equazioni di grado superiore al secondo ripeto è da scomporre usando le possibili tecniche di scomposizione tranne ruffini
Quali "tecniche" di scomposizione sono citate in quella sezione ? (perché mi pare evidente che se l'esercizio appartiene a quel capitolo significa che si debba usare qualche metodo ivi spiegato ...)
IMHO riterrei utile se tu postassi la richiesta per intero ...
IMHO riterrei utile se tu postassi la richiesta per intero ...
"axpgn":
Quali "tecniche" di scomposizione sono citate in quella sezione ? (perché mi pare evidente che se l'esercizio appartiene a quel capitolo significa che si debba usare qualche metodo ivi spiegato ...)
IMHO riterrei utile se tu postassi la richiesta per intero ...
Qualunque tecnica matematica di scomposizione va bene l'importante è riscrivere il polinomio come prodotto tra due polinomi e poi applicare la legge di annullamento del prodotto
Sinceramente a me non sovviene altro che cercare tra i divisori del termine noto tra cui va bene il $4$ e poi fare la divisione fra poilinomi ... peraltro mi pare che solo quella sia una soluzione intera ...
"axpgn":
Sinceramente a me non sovviene altro che cercare tra i divisori del termine noto tra cui va bene il $4$ e poi fare la divisione fra poilinomi ... peraltro mi pare che solo quella sia una soluzione intera ...
Ok allora farò così
Ma..................non è che il polinomio da scomporre sia
$x^4-16x^3+44x^2+64x-192$ ??
Perché quello che hai postato non riesco a scomporlo neppure io (*), con il tuo arrivo solo a
$(x−4)(x^3 −12x^2−4x+44) $.....................
(*) come se ciò dimostrasse che non è scomponibile
$x^4-16x^3+44x^2+64x-192$ ??
Perché quello che hai postato non riesco a scomporlo neppure io (*), con il tuo arrivo solo a
$(x−4)(x^3 −12x^2−4x+44) $.....................
(*) come se ciò dimostrasse che non è scomponibile
"teorema55":
Ma..................non è che il polinomio da scomporre sia
$x^4-16x^3+44x^2+64x-192$ ??
Perché quello che hai postato non riesco a scomporlo neppure io (*), con il tuo arrivo solo a
$(x−4)(x^3 −12x^2−4x+44) $.....................
(*) come se ciò dimostrasse che non è scomponibile
quello che hai scritto tu è giusto infatti il risultato dà 4 , ma come l'hai scomposto?
Ho trovato facilmente una radice del polinomio,
$x=4$
e quindi ho potuto abbassare di un grado il polinomio iniziale con Ruffini. Il trinomio di terzo grado non è scomponibile nel campo reale, perché ha tre radici immaginarie. Non pretendo che capisca, certamente il tuo programma non è ancora arrivato ai numeri immaginari né penso che lo farà. Come diceva qualcuno............ti devi fidare!
$x=4$
e quindi ho potuto abbassare di un grado il polinomio iniziale con Ruffini. Il trinomio di terzo grado non è scomponibile nel campo reale, perché ha tre radici immaginarie. Non pretendo che capisca, certamente il tuo programma non è ancora arrivato ai numeri immaginari né penso che lo farà. Come diceva qualcuno............ti devi fidare!
"teorema55":
Ho trovato facilmente una radice del polinomio,
$x=4$
e quindi ho potuto abbassare di un grado il polinomio iniziale con Ruffini. Il trinomio di terzo grado non è scomponibile nel campo reale, perché ha tre radici immaginarie. Non pretendo che capisca, certamente il tuo programma non è ancora arrivato ai numeri immaginari né penso che lo farà. Come diceva qualcuno............ti devi fidare!
ok ma senza ruffini non era proprio fattibile?Comunque grazie, posso chiederti un'altra cosa?
Certo, solo non posso garantirti risposta immediata....
"teorema55":
Certo, solo non posso garantirti risposta immediata....
Potresti dare uno sguardo all'argomento che ho aperto ieri "equazione irrazionale". Siccome l'equazione che ho chiesto di scomporre era risulata l'elaborazione di un'equazione irrazionale dopo vari calcoli.Mi aveva aiutato un altro utente poi gli ho chiesto se erano giuste le condiz. di conc. del segno ma non ho avuto risposta. potresti aiutarmi per favore?
"teorema55":
Il trinomio di terzo grado non è scomponibile nel campo reale, perché ha tre radici immaginarie. ...
Un polinomio di terzo grado a coefficienti reali NON può aver TRE radici immaginarie, ne avrà al massimo 2 di immaginarie (meglio dire complesse coniugate) e una irrazionale non deducibile con gli ordinari criteri di soluzione, oppure tre di reali come in questo caso, anche se non sono deducibili con i criteri ordinari.
$ (x−4)(x^3 −12x^2−4x+44) =0 $ ammette come soluzione $x=4$ come avete già appurato, ma resta da trovare le altre soluzioni reali dell'equazione di terzo grado $x^3 −12x^2−4x+44=0$
Considero il polinomio $p(x)=x^3 −12x^2−4x+44$, sappiamo che si tratta di una funzione continua, quindi se si trovano due valori $a$ e $b$ della x tali che il polinomio assuma segni discordi, allora il polinomio si annulla almeno una volta nell'intervallo $]a, b[$
dopo aver osservato che
$p(-2)=-4$ e $p(-1)=35$ si può dedurre che l'equazione associata al polinomio ammette una soluzione compresa tra $-2 $ e $-1$
$p(1)=29$ e $p(2)=-4$ si può dedurre che l'equazione associata al polinomio ammette una soluzione compresa tra $1 $ e $2$
$p(12)=-4$ e $p(12,1)=10,241$ si può dedurre che l'equazione associata al polinomio ammette una soluzione compresa tra $12 $ e $12,1$
Con un po' di tempo e voglia si possono restringere gli intervalli anche nella scelta della prima due soluzioni dell'equazione di terzo grado.
Se, invece, si tratta solo di completare l'equazione viewtopic.php?f=11&t=174875
allora dalle condizioni di esistenza (a quelle indicate da olegfresi manca solo l'ultima concordanza dei segni) si deduce che l'unica soluzione accettabile è $x=4$, mentre le altre tre cadono fuori dal campo di esistenza.
"@melia":
[quote="teorema55"] Il trinomio di terzo grado non è scomponibile nel campo reale, perché ha tre radici immaginarie. ...
Un polinomio di terzo grado a coefficienti reali NON può aver TRE radici immaginarie, ne avrà al massimo 2 di immaginarie (meglio dire complesse coniugate) e una irrazionale non deducibile con gli ordinari criteri di soluzione, oppure tre di reali come in questo caso, anche se non sono deducibili con i criteri ordinari.
$ (x−4)(x^3 −12x^2−4x+44) =0 $ ammette come soluzione $x=4$ come avete già appurato, ma resta da trovare le altre soluzioni reali dell'equazione di terzo grado $x^3 −12x^2−4x+44=0$
Considero il polinomio $p(x)=x^3 −12x^2−4x+44$, sappiamo che si tratta di una funzione continua, quindi se si trovano due valori $a$ e $b$ della x tali che il polinomio assuma segni discordi, allora il polinomio si annulla almeno una volta nell'intervallo $]a, b[$
dopo aver osservato che
$p(-2)=-4$ e $p(-1)=35$ si può dedurre che l'equazione associata al polinomio ammette una soluzione compresa tra $-2 $ e $-1$
$p(1)=29$ e $p(2)=-4$ si può dedurre che l'equazione associata al polinomio ammette una soluzione compresa tra $1 $ e $2$
$p(12)=-4$ e $p(12,1)=10,241$ si può dedurre che l'equazione associata al polinomio ammette una soluzione compresa tra $12 $ e $12,1$
Con un po' di tempo e voglia si possono restringere gli intervalli anche nella scelta della prima due soluzioni dell'equazione di terzo grado.[/quote]
Mi è venuta una curiosità: come si chiama questo tipo di deduzione delle soluzioni. Per caso è programma di liceo o no?
Per la prima volta non concordo con @melia.
I miei calcoli danno i seguenti risultati, tutti numeri complessi coniugati:
I miei calcoli danno i seguenti risultati, tutti numeri complessi coniugati:
Mi spieghi dove sta la differenza?
@melia
Un polinomio di terzo grado a coefficienti reali NON può aver TRE radici immaginarie
@teorema55
I miei calcoli danno i seguenti risultati, tutti numeri complessi coniugati
Tu non la vedi?
Scusa teorema55, ma quei tre numeri NON sono complessi, per ottenerli sei passato attraverso i complessi perché hai usato le formule di Cardano, ma le soluzioni finali sono reali.
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