Scomposizione particolare
salve a tutti
ho una scomposizione in un esercizio,anzi due che non so' se si possono fare
$b^4+b^2+1$ e $a^2-a+1$
sono esercizio con i radicali...il primo e' questo $(b^4+b^2+1)/(sqrt(b^2+b+1))$ e dovrebbe venire stando al libro $b^2-b+1 sqrt(b^2+b+1)$ ....
come posso scomporre quei due trinomi? cosi' vedo se riesco ad andare avanti
ho una scomposizione in un esercizio,anzi due che non so' se si possono fare
$b^4+b^2+1$ e $a^2-a+1$
sono esercizio con i radicali...il primo e' questo $(b^4+b^2+1)/(sqrt(b^2+b+1))$ e dovrebbe venire stando al libro $b^2-b+1 sqrt(b^2+b+1)$ ....
come posso scomporre quei due trinomi? cosi' vedo se riesco ad andare avanti
Risposte
Allora secondo me il risultato dovrebbe essere $(b^2-b+1)(sqrt(b^2+b+1))$
Ora per riuscire ad arrivare a quella forma, dobbiamo applicare qualche "trucchetto" di algebra. Concentrati sul numeratore, cioè:
$b^4+b^2+1$
Il primo indizio che ti dò è: cercare di far uscire un quadrato perfetto, sommando e sottraendo qualcosa.
Ora per riuscire ad arrivare a quella forma, dobbiamo applicare qualche "trucchetto" di algebra. Concentrati sul numeratore, cioè:
$b^4+b^2+1$
Il primo indizio che ti dò è: cercare di far uscire un quadrato perfetto, sommando e sottraendo qualcosa.
ma non e' ne un trinomio ne si puo' scomporre con ruffini....farlo venire un quadrato perfetto posso fare:
$b^2(b^2+1)+1$ l unica cosa che mi viene in mente
$b^2(b^2+1)+1$ l unica cosa che mi viene in mente
No devi aggiungere e sottrarre qualcosa (ricordando che aggiungengo e sottraendo la stessa quantità il risultato o il valore iniziale non cambia)...è una tecnica che spesso ti permette di far quadrare i conti.
un altra cosa che mi viene in mente potrebbe essere di porre $b^2$ ad $a$
per cui otterrei $a^2+a+1$ pero' anche cosi' non risolvo il problema
per aggiungere e sottrarre qualcosa mi sa che e' una tecnica che non ho mai usato...
per cui otterrei $a^2+a+1$ pero' anche cosi' non risolvo il problema
per aggiungere e sottrarre qualcosa mi sa che e' una tecnica che non ho mai usato...
Allora ti dò un altro aiuto, però poi cerca di sforzarti perchè prima apprendi queste tecnica e prima aumenterai il tuo livello di conoscenze.
Abbiamo: $b^4+b^2+1$, il nostro obiettivo è quello di ricavare un quadrato perfetto, quindi io mi accorgo che sommando e sottraendo $2b^2$ ho proprio quello che cerco,cioè:
[tex]b^4+b^2+1 = b^4+b^2+1+2b^2-2b^2 = (b^4+2b^2+1)+b^2-2b^2 = (b^2+1)^2-b^2[/tex]
hai capito?!
Abbiamo: $b^4+b^2+1$, il nostro obiettivo è quello di ricavare un quadrato perfetto, quindi io mi accorgo che sommando e sottraendo $2b^2$ ho proprio quello che cerco,cioè:
[tex]b^4+b^2+1 = b^4+b^2+1+2b^2-2b^2 = (b^4+2b^2+1)+b^2-2b^2 = (b^2+1)^2-b^2[/tex]
hai capito?!
azz che roba
questa non l avevo mai vista....
dunque vediamo un po' se ho capito:
io avendo $b^4+b^2+1$ ho un quadrato a cui manca il doppio prodotto,che sarebbe $(b^2+1)^2$
io in pratica aggiungo il doppio prodotto,e poi lo sottraggo,ottenendo : $ b^4+2b^2+1$ e $b^2-2b^2$
a questo punto ,indico come quadrato il quadrato perfetto che ho ottenuto $(b^2+1)^2$ e faccio l'operazione di quello che mi rimane,cioe' $b^2-2b^2=-b^2$ ed ottengo $(b^2+1)^2-b^2$
quante altre tecniche del genere ci sono?
sono riportate da qualche parte? io per esempio sul mio libro non le trovo queste cose...
questa non l avevo mai vista....
dunque vediamo un po' se ho capito:
io avendo $b^4+b^2+1$ ho un quadrato a cui manca il doppio prodotto,che sarebbe $(b^2+1)^2$
io in pratica aggiungo il doppio prodotto,e poi lo sottraggo,ottenendo : $ b^4+2b^2+1$ e $b^2-2b^2$
a questo punto ,indico come quadrato il quadrato perfetto che ho ottenuto $(b^2+1)^2$ e faccio l'operazione di quello che mi rimane,cioe' $b^2-2b^2=-b^2$ ed ottengo $(b^2+1)^2-b^2$
quante altre tecniche del genere ci sono?
sono riportate da qualche parte? io per esempio sul mio libro non le trovo queste cose...
No vabbè io le chiamo tecniche per rendere il passaggio più formale, ma in realtà sono degli artifici che si fanno con i numeri. Sono cose che si imparano sin da piccoli, sfruttando il principio: Aggiungendo e sottraendo la stessa quantità il risultato non cambia (mi pare che si facciano alle scuole elementari o medie). Ovviamente ai bambini piccoli si spiegano con i numeri, ma poi il concetto viene generalizzato a casi più particolari, tipo questo. La sostanza è che dire $b^4+b^2+1$ oppure $(b^2+1)^2-b^2$ è la stessa cosa. Ciò significa che lavorare con l'uno o con l'altro è praticamente uguale, solo che, alcune volte, si preferisce una forma anzichè un'altra...tutto qui.
Quindi da:
[tex](b^2+1)^2-b^2[/tex] per arrivare al risultato del tuo libro, devi cercare di scomporre ulteriormente, utilizzando una nota scomposizione, la quale ti verrà in mente se guardi bene che tipo di oggetto hai davanti.
Quindi da:
[tex](b^2+1)^2-b^2[/tex] per arrivare al risultato del tuo libro, devi cercare di scomporre ulteriormente, utilizzando una nota scomposizione, la quale ti verrà in mente se guardi bene che tipo di oggetto hai davanti.
adesso devo uscire perche' a Natale mi mi stressano tutti
comunque stasera o domani mattina finisco
grazie per la spiegazione
poi posto tutti i passaggi se vuoi
comunque stasera o domani mattina finisco
grazie per la spiegazione
poi posto tutti i passaggi se vuoi
Va bene...non ci sono problemi...Auguri di buon natale allora!
@HeadTrip
Ciao,
forse, dopo aver risolto questa scomposizione, ti potrebbe interessare quella che ho proposto io qualche giorno fa, simile.
Ciao,
forse, dopo aver risolto questa scomposizione, ti potrebbe interessare quella che ho proposto io qualche giorno fa, simile.
"Lorin":
Va bene...non ci sono problemi...Auguri di buon natale allora!
hola ciao
son tornato dalle feste...alla fine fra pranzi e cene mi sono incatramato fino a qualche giorno fa...ora son tornato alla normalita'
dunque eravam rimasti a quella semplificazione,ho fatto tutto l eserizio comunque e sono andato avanti di un po' in questi giorni
l'esercizio che avevo postato su questo 3d lo posto per intero e ne posto anche un'altro simile che per risolverli ho utilizzato,anche se mi son venuti entrambi giusti,due metodi leggermente differenti
volevo sapere,se mi ci potete dare un'occhiata,quale e' il piu' corretto fra i due o se ho commesso degli errori o se magari sono giusti entrambi
dunque questo e' quello che avevo postato qui
$(b^4+b^2+1)/(sqrt(b^2+b+1))$
$(b^4+b^2+1+2b^2-2b^2)/(sqrt(b^2+b+1))$
$((b^2+1)^2-b^2)/(sqrt(b^2+b+1))$
$([b^2+1+b][b^2+1-b])/(sqrt(b^2+b+1))$
ecco ora qui ci son 2 passaggi che non so' se li ho ragionati nella maniera giusta
$((b^2-b+1)sqrt((b^2+b+1))^2)/(sqrt(b^2+b+1))$
dovrebbe esserci un errore
poi $((b^2-b+1)sqrt(b^2+b+1))/(sqrt(1))$
$(b^2-b+1)sqrt(b^2+b+1)$
faccio un altro post e posto l altro
questo e' l altro che a me come metodo sembra piu' corretto
$(b^2+y^2+2by-1)/(sqrt(b+y+1))$
$((b+y)^2-1)/(sqrt(b+y+1))$
$([b+y+1][b+y-1])/(sqrt(b+y+1))$
$([b+y+1][b+y-1]sqrt(b+y+1))/(sqrt(b+y+1)sqrt(b+y+1))$
$((b+y-1)sqrt((b+y+1)^2)sqrt(b+y+1))/(sqrt((b+y+1)^2))$
pr cui ho portato sotto radice $b+y+1$ al numeratore e poi l ho semplificato con il denominatore ottenendo
$(b+y-1)sqrt(b+y+1)$
$(b^2+y^2+2by-1)/(sqrt(b+y+1))$
$((b+y)^2-1)/(sqrt(b+y+1))$
$([b+y+1][b+y-1])/(sqrt(b+y+1))$
$([b+y+1][b+y-1]sqrt(b+y+1))/(sqrt(b+y+1)sqrt(b+y+1))$
$((b+y-1)sqrt((b+y+1)^2)sqrt(b+y+1))/(sqrt((b+y+1)^2))$
pr cui ho portato sotto radice $b+y+1$ al numeratore e poi l ho semplificato con il denominatore ottenendo
$(b+y-1)sqrt(b+y+1)$
I passaggi sono corretti, ma noto solo un errore: perchè all'improvviso utilizzi il valore assoluto!? Anzichè la semplice parentesi tonda!?
"Lorin":
I passaggi sono corretti, ma noto solo un errore: perchè all'improvviso utilizzi il valore assoluto!? Anzichè la semplice parentesi tonda!?
Secondo me sono parentesi quadre, guarda bene.
"HeadTrip":
volevo sapere,se mi ci potete dare un'occhiata,quale e' il piu' corretto fra i due o se ho commesso degli errori o se magari sono giusti entrambi
Solo per dire che, passaggio per passaggio, l'ultima patre del I esercizio io l'ho risolta così:
$((b^2-b+1)sqrt((b^2+b+1))^2)/(sqrt(b^2+b+1))$
$((b^2-b+1)(sqrt(b^2+b+1))^2)/(sqrt(b^2+b+1))$
$(b^2-b+1)sqrt(b^2+b+1)$
L'altro esercizio lo farò appena ho tempo.
$a^2-a+1$ invece non sono riuscito a scomporlo.
"ffennel":
$a^2-a+1$ invece non sono riuscito a scomporlo.
Perché quel trinomio non è scomponibile in $RR$
ma quindi fra la prima e la seconda il metodo piu' corretto non e' quello della seconda? vanno bene entrambi?
Io l'ho risolta similmente alla precedente:
$((b+y+1)(b+y-1))/(sqrt(b+y+1))$
$[sqrt((b+y+1)^2)(b+y-1)]/(sqrt(b+y+1))$ qua ho trasformato $(b+y+1)$ in $sqrt((b+y+1)^2)$
$[(sqrt(b+y+1))^2(b+y-1)]/(sqrt(b+y+1))$ qua ho trasformato $sqrt((b+y+1)^2)$ in $(sqrt(b+y+1))^2$ e poi ho semplificato
$sqrt((b+y+1))(b+y-1)$
In realtà il III passaggio si poteva anche omettere, dividendo direttamente $sqrt((b+y+1)^2)$ al numeratore per $sqrt(b+y+1)$ al denominatore; invece tu hai allungato un pò facendo la razionalizzazione; comunque il metodo ed i calcoli sono corretti e quindi questo è l'importante.
Solo nella prima, non ho capito quel $sqrt(1)$ al denominatore.
$((b+y+1)(b+y-1))/(sqrt(b+y+1))$
$[sqrt((b+y+1)^2)(b+y-1)]/(sqrt(b+y+1))$ qua ho trasformato $(b+y+1)$ in $sqrt((b+y+1)^2)$
$[(sqrt(b+y+1))^2(b+y-1)]/(sqrt(b+y+1))$ qua ho trasformato $sqrt((b+y+1)^2)$ in $(sqrt(b+y+1))^2$ e poi ho semplificato
$sqrt((b+y+1))(b+y-1)$
In realtà il III passaggio si poteva anche omettere, dividendo direttamente $sqrt((b+y+1)^2)$ al numeratore per $sqrt(b+y+1)$ al denominatore; invece tu hai allungato un pò facendo la razionalizzazione; comunque il metodo ed i calcoli sono corretti e quindi questo è l'importante.
Solo nella prima, non ho capito quel $sqrt(1)$ al denominatore.
"ffennel":
Io l'ho risolta similmente alla precedente:
$((b+y+1)(b+y-1))/(sqrt(b+y+1))$
$[sqrt((b+y+1)^2)(b+y-1)]/(sqrt(b+y+1))$ qua ho trasformato $(b+y+1)$ in $sqrt((b+y+1)^2)$
$[(sqrt(b+y+1))^2(b+y-1)]/(sqrt(b+y+1))$ qua ho trasformato $sqrt((b+y+1)^2)$ in $(sqrt(b+y+1))^2$ e poi ho semplificato
ma non si dovrebbe moltiplicare il radicale al denominatore con il denominatore stesso e con il numeratore?
$sqrt((b+y+1))(b+y-1)$
In realtà il III passaggio si poteva anche omettere, dividendo direttamente $sqrt((b+y+1)^2)$ al numeratore per $sqrt(b+y+1)$ al denominatore; invece tu hai allungato un pò facendo la razionalizzazione; comunque il metodo ed i calcoli sono corretti e quindi questo è l'importante.
Solo nella prima, non ho capito quel $sqrt(1)$ al denominatore.
per evidenziare che ho semplificato il numeratore con il denominatore e $sqrt(1)$ e' come dire $1$
"HeadTrip":
ma non si dovrebbe moltiplicare il radicale al denominatore con il denominatore stesso e con il numeratore?
In questo caso hai solo allungato, infatti si poteva fare:
$((b+y+1)(b+y-1))/(sqrt(b+y+1))$
$[sqrt((b+y+1)^2)(b+y-1)]/(sqrt(b+y+1))$
$sqrt((b+y+1))(b+y-1)$
Invece tu hai fatto la razionalizzazione del denominatore, per cui hai introdotto qualcosa che non c'era e hai allungato nel secondo esercizio.
Personalmente prima di introdurre qualcosa che non c'è preferisco provare a vedere se riesco a far qualcosa con quel che c'è.
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