Scomposizione di polinomi - somme o differenze di potenze

[Kirito3]

All'interno della scomposizione dei polinomi c'e' una categoria che personalmente mi fa diventare matto. Parlo della differenza o somma di potenze di uguale esponente o riconducibili a tale forma

In questo esercizio, a parte riconoscere il 64 come [tex]2^6[/tex], non so come procedere considerato quel denominatore. Vedo sul libro la soluzione e non ho idea dei passaggi per arrivarci.

[tex]\frac{64}{27}a^6-8[/tex]
il testo riporta come soluzione [tex]\frac{8}{27}(2a^2-3)(4a^4+6a^2+9)[/tex]
Potreste spiegarmi i passaggi logici per arrivare a questa semplificazione?

[axpgn]

Differenza di cubi ...

[Kirito3]

grazie tem. Qui mi ha fregato il raccoglimento, mi concentravo a tenere il [tex]2^6[/tex] al numeratore per poter avere lo stesso esponente della parte letterale, invece dovevo raccogliere l'8...
Ah e grazie anche per la tabella

[axpgn]

Non è necessario raccogliere niente ... il primo termine è un cubo $64/27a^6=(4/3a^2)^3$, il secondo termine è un cubo $2^3=8$ ... differenza di cubi ...

[@melia]

"axpgn":Non è necessario raccogliere niente ... il primo termine è un cubo $64/27a^6=(4/3a^2)^3$, il secondo termine è un cubo $2^3=8$ ... differenza di cubi ...

Hai ragione, ma, generalmente, si preferisce avere coefficienti interi nei polinomi fattori, e, comunque, i testi di solito riportano la soluzione con i coefficienti interi.
In ogni caso il fattore $2^3$ va raccolto, prima o dopo.

[axpgn]

A mio personalissimo parere ( ) quello è un classico esercizio del biennio che serve per "stimolare l'occhio" a riconoscere i cubi (in questo caso): se i cubi ci "sono" non vedo perché raccogliere "prima" (fatto che può complicare la vita), casomai si semplifica dopo ... se i cubi "non ci sono" allora si prendono in considerazione altre strade ... IMHO ...

Cordialmente, Alex

[axpgn]

... mmm ... non mi convince ... l'esempio che citi non contraddice ciò che ho scritto (si fa riferimento al raccoglimento in generale che peraltro mi trova d'accordo), io mi riferivo ai prodotti notevoli relativi alle somme e differenze di potenze, in tali casi se si riconoscono le potenze "ad occhio" è preferibile usare il prodotto notevole e poi semplificare e non viceversa ... a mia esperienza capita spesso che lo studente arrivato a questo punto dopo aver fatto molti esercizi sul raccoglimento a fattor comune tenti di applicarlo dovunque e comunque ( ) a sproposito, quando invece si richiederebbe di saper riconoscere un "quadrato", un "cubo", ecc.
Ovviamente è più una questione di gusti ... ( ) ... anche se la ritengo una "sottigliezza" didattica della quale vale la pena di parlare ...

Se mi permetti, vorrei chiudere con una battuta: solo tu potevi vedere $8/27$ come fattor comune ... ... (peraltro anche qui si potrebbe aprire un bel dibattito, ancorché completamente inutile , sul fatto che si possa definire fattor comune un razionale invece di un intero dato che un razionale qualsiasi servirebbe allo scopo ...)

Cordialmente, Alex

[axpgn]

La cosa paradossale è che concordo con tutto quello che hai scritto ma proprio per quello credo che in un esercizio mirato a prendere dimestichezza con i prodotti notevoli di quel tipo (perché di questo stiamo parlando, non di generici esercizi sulle scomposizioni) la cosa primaria da fare è riconoscere come applicarli, senza altre manipolazioni, per allenare "l'occhio" ...
Comunque, siam d'accordo, è questione di gusti ...

Buonanotte anche a te,

Alex

[@melia]

In effetti ritenere $8/27$ il fattor comune può sembrare illogico, ci sarebbe un'operazione che precede questo passaggio: la riduzione a denominatore comune, con conseguente raccoglimento del denominatore.
Comunque è questione di lana caprina, ognuno dei procedimenti è assolutamente corretto.

[axpgn]

Sai @amelia, mi piace pensare che queste discussioni "inutili" facciano aumentare l'interesse nei vari utenti occasionali che passano di qui solo per veder risolto il loro problema contingente, facendo "risaltare" che al di là di "semplici" operazioni come può essere il raccoglimento a fattor comune ci siano (o ci siano stati) ragionamenti tutt'altro che banali (anche "solo" dal punto di vita didattico, per trovare il modo migliore di trasmettere conoscenze ... secondo te, quanti si ricordano che il raccoglimento a fattor comune non è altro che l'applicazione della proprietà distributiva? )

Cordialmente, Alex

[@melia]

Queste discussioni "inutili" mi piacciono tanto che a volte nelle interrogazioni a scuola, dopo che uno studente ha risolto un esercizio, chiedo se qualcun'altro lo ha risolto diversamente (anche cose banali come queste) e lo chiamo alla lavagna a mostrare la sua soluzione. Per risolvere un esercizio spesso esiste una via migliore, quasi mai la via è unica. Spero che siano utili anche per gli studenti.