Sbaglio io o sbaglia il libro?!?!
Buondì!
Sfogliando le pagine di esercizi del mio libro di testo, il MultiMath.verde 2 (978-88-538-0572-0), mi sono imbattuto in un esercizio svolto di esempio che mi ha lasciato perplesso (pag. 419: es. 67).
In breve, riguarda la risoluzione di un'equazione irrazionale per la quale sono necessari due elevamenti al quadrato:
$ sqrt(x-3)=4-sqrt(x+5) $
Dicono che, affinché entrambe le radici siano definite, si debba porre:
$ { ( x-3>=0 ),( x+5>= 0 ):}rArr x>=3 $
E fino a qua, tutto fila liscio. Ora, da quello che spiegano nella teoria, le CE vanno messe a sistema con le CCS (concordanza di segno) per ottenere le CA (accettabilità) delle soluzioni.
Riporto quello che spiegano:
E poi l'esercizio continua e più in fondo arrivano a una sola radice e le sue nuove condizioni.
Ma, gran calma, immagino che le CA di un'equazione equivalente ad un'altra equazione siano le stesse di quest'ultima. Nel senso che le CA dell'equazione con le due radici al primo membro sono le stesse di quella con una radice al primo e l'altra, negativa, al secondo.
Quindi, scelgo ad esempio $ x=20 $. Rispetta le condizioni. Eppure, se sostituisco $ x $ col suo valore nell'equazione originale ottengo sì una contraddizione, ma vedo anche chiaramente che le condizioni di concordanza non sono rispettate:
$ sqrt(20-3)=4-sqrt(20+5) rArr sqrt(17)=-1 $
Mi sarei immaginato $ sqrt(17) $ uguale [qualcosa di positivo].
È come se dicessero che, preso $ sqrt(x)=4-x $, basterebbe trasportare l' $ x $ a sinistra per evitare di porre le CCS.
Probabilmente sbaglio da qualche parte, ma non riesco a spiegarmi dove.
Piuttosto, nell'esercizio che propongono, avrei fatto:
$ { ( CE: x>=3 ),( CS: 4-sqrt(x+5)>=0):}rArr 3<=x<=11 $
È come controprova, l'ultimo valore dell'intervallo, 11, funziona benone:
$ sqrt(8)=4-sqrt(16)rArr sqrt(8)=0 $
Almeno è una contraddizione sensata
Sfogliando le pagine di esercizi del mio libro di testo, il MultiMath.verde 2 (978-88-538-0572-0), mi sono imbattuto in un esercizio svolto di esempio che mi ha lasciato perplesso (pag. 419: es. 67).
In breve, riguarda la risoluzione di un'equazione irrazionale per la quale sono necessari due elevamenti al quadrato:
$ sqrt(x-3)=4-sqrt(x+5) $
Dicono che, affinché entrambe le radici siano definite, si debba porre:
$ { ( x-3>=0 ),( x+5>= 0 ):}rArr x>=3 $
E fino a qua, tutto fila liscio. Ora, da quello che spiegano nella teoria, le CE vanno messe a sistema con le CCS (concordanza di segno) per ottenere le CA (accettabilità) delle soluzioni.
Riporto quello che spiegano:
Conviene ora riscrivere l'equazione nella forma equivalente:
$ sqrt(x-3)+sqrt(x+5)=4 $
In tal modo possiamo osservare che, se è soddisfatta la condizione di esistenza $ x>=3 $ i due membri sono senz'altro positivi e quindi la concordanza di segno è sicuramente verificata. Quindi le condizioni di accettabilità sono: $ x>=3 $.
E poi l'esercizio continua e più in fondo arrivano a una sola radice e le sue nuove condizioni.
Ma, gran calma, immagino che le CA di un'equazione equivalente ad un'altra equazione siano le stesse di quest'ultima. Nel senso che le CA dell'equazione con le due radici al primo membro sono le stesse di quella con una radice al primo e l'altra, negativa, al secondo.
Quindi, scelgo ad esempio $ x=20 $. Rispetta le condizioni. Eppure, se sostituisco $ x $ col suo valore nell'equazione originale ottengo sì una contraddizione, ma vedo anche chiaramente che le condizioni di concordanza non sono rispettate:
$ sqrt(20-3)=4-sqrt(20+5) rArr sqrt(17)=-1 $
Mi sarei immaginato $ sqrt(17) $ uguale [qualcosa di positivo].
È come se dicessero che, preso $ sqrt(x)=4-x $, basterebbe trasportare l' $ x $ a sinistra per evitare di porre le CCS.
Probabilmente sbaglio da qualche parte, ma non riesco a spiegarmi dove.
Piuttosto, nell'esercizio che propongono, avrei fatto:
$ { ( CE: x>=3 ),( CS: 4-sqrt(x+5)>=0):}rArr 3<=x<=11 $
È come controprova, l'ultimo valore dell'intervallo, 11, funziona benone:
$ sqrt(8)=4-sqrt(16)rArr sqrt(8)=0 $
Almeno è una contraddizione sensata
Risposte
anch'io avrei fatto $4-sqrt(x+5)>=0 <=> -5<=x<=11$
oltre chiaramente alla già citata $x-3>=0 sse x>=3$
Dipende a quale equazione applichi la quadratura.
Questa a primo membro ha una quantità di destra che è positiva per ogni $xgeq3$. La concordanza del segno l'hai, ma tu considerando $x=20$ stai facendo qualcosa che è di per se un punto interrogativo. Di fatto ti sposti un termine di un'equazione che non è verificata, che in partenza(prima di spostare il $5$ aveva la concordanza)
Comunque quadrando quell'equazione ottieni
Ora qui devi imporre che sia anche $7-xgeq0$ ma non è questo il punto, consideriamo l'equazione scritta come
il secondo membro deve ovviamente essere positivo, e lo è in $3leqxleq11$(tutta). Quadrando i due membri ottieni
L'altra equazione ti avrebbe portato anche a $x=4$. L'elevazione al quadrato in generale è un'operazione problematica, poiché per farlo i membri devono essere concordi. Il problema è che magari da varie manipolazioni si ottengono membri concordi su intervalli diversi, ma che comunque contengono, qualora ci sia, la nostra soluzione. Per vedere puoi provare risolvendo
E vedere come gli intervalli cambiano.
$sqrt(x-3)+sqrt(x+5)=4$
Questa a primo membro ha una quantità di destra che è positiva per ogni $xgeq3$. La concordanza del segno l'hai, ma tu considerando $x=20$ stai facendo qualcosa che è di per se un punto interrogativo. Di fatto ti sposti un termine di un'equazione che non è verificata, che in partenza(prima di spostare il $5$ aveva la concordanza)
Comunque quadrando quell'equazione ottieni
${(sqrt(x^2+2x-15)=7-x),(xgeq3):}$
Ora qui devi imporre che sia anche $7-xgeq0$ ma non è questo il punto, consideriamo l'equazione scritta come
$sqrt(x-3)=4-sqrt(x+5)$
il secondo membro deve ovviamente essere positivo, e lo è in $3leqxleq11$(tutta). Quadrando i due membri ottieni
$x-3=16+x+5-8sqrt(x+5)=>sqrt(x+5)=3=>x=4$
L'altra equazione ti avrebbe portato anche a $x=4$. L'elevazione al quadrato in generale è un'operazione problematica, poiché per farlo i membri devono essere concordi. Il problema è che magari da varie manipolazioni si ottengono membri concordi su intervalli diversi, ma che comunque contengono, qualora ci sia, la nostra soluzione. Per vedere puoi provare risolvendo
$sqrt(x+5)=4-sqrt(x-3)$
E vedere come gli intervalli cambiano.
"anto_zoolander":
La concordanza del segno l'hai, ma tu considerando $x=20$ stai facendo qualcosa che è di per se un punto interrogativo. Di fatto ti sposti un termine di un'equazione che non è verificata, che in partenza(prima di spostare il $5$ aveva la concordanza)
Avevo ragionato pensando che, fissate le condizioni di accettabilità, potessi scegliere un qualsiasi valore dal dominio che mai avrebbe violato né CE né CCS, seppure ottenendo un'equazione falsa.
E credo che sia giusto, no?
Piuttosto, a quanto pare, ho assunto una falsa ipotesi, ovvero non tutte le equazioni irrazionali tra di loro equivalenti hanno le stesse condizioni.
"anto_zoolander":
L'elevazione al quadrato in generale è un'operazione problematica, poiché per farlo i membri devono essere concordi.
Riassume molto bene il procedimento risolutivo.
Grazie mille per l'aiuto!
Quando tu hai scritto $sqrt(20-3)+sqrt(20+5)=4$ devi considerare che tu hai concordanza di segno quando l'equazione è scritta così. Di fatto ottieni $sqrt(17)+5=4$ e sono concordi. Solo che quando sposti il $5$ Stai cambiando un po' le carte in tavola. Il ragionamento che si può fare è il seguente. Quando sposti da un membro all'altro qualcosa(detto brutalmente), nell'equazione non cambia nulla, ma i singoli membri cambiano totalmente. Quando hai una equazione o diseducazione che sia, e vuoi trovare concordanza di segni ad ambo i membri, hai concordanza di segni solo per quei membri. Infatti solitamente prima studi le condizioni di esistenza che prescindono dai membri, quindi radicandi(in questo caso). Poi sposti tutte le cose nella maniera più utile, studi le concordanze dei segni e poi elevi al quadrato QUEI membri.
In generale quella cosa che hai scritto circa le equazioni irrazionali, vale per ogni equazione. Ad esempio
Se studi così la concordanza dei segni in questa maniera, avrai una condizione, se aggiungi ad esempio $1$ a entrambi i membri, l'equazione ha le stesse soluzioni, ma $2x+8=x+1$ ha diverse condizioni per quanto riguarda i segni di ambo i membri.
In generale quella cosa che hai scritto circa le equazioni irrazionali, vale per ogni equazione. Ad esempio
$2x+7=x$
Se studi così la concordanza dei segni in questa maniera, avrai una condizione, se aggiungi ad esempio $1$ a entrambi i membri, l'equazione ha le stesse soluzioni, ma $2x+8=x+1$ ha diverse condizioni per quanto riguarda i segni di ambo i membri.
Effettivamente, tutto ha senso messa così. Grazie mille, di nuovo.
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