Sapreste risolvere sto problema??? help.. :)

[peppinotti]

è dato il quadrato ABCD la cui area misura 16L alla seconda. sia M il punto del lato DC alla distanza L dal vertice D e sia N il punto del lato BC alla distanza 3L dal vertice C. Preso un punto P interno al segmento MN determinare le distanze x e y di P rispettivamente dai lati AD e AB del quadrato in modo che sia verificata la seguente relazione
AP alla seconda + PB alla seconda = 26L alla seconda

[BIT5]

Costruisci la figura.

Intanto sai che se il quadrato ha area 16l^2 allora il lato sara' 4l (la radice)

I punti M e N, anche se il testo li scrive in modo particolare, distano entrambi dal punto C di 3l.

Pertanto MN altro non e' che la diagonale di un quadrato di lato 3l e pertanto misurera'

[math] 3l \sqrt2 [/math]

( valore che puoi trovare comunque con il teorema di Pitagora)

Analizziamo i casi limite:

Se P coincide con M avremo x = l (la distanza da AD sara' pari DM) e y=4l (la distanza da AB sara' pari al lato DA)

Se P coincide con M allora x=4l e y=l

Pertanto

[math] l \le x \le 4l \cup l \le y \le 4l [/math]

Ovviamente ora ci occorre l'assegnazione di un'incognita.

Segna un punto P su MN e traccia le rette perpendicolari a AD da P (la lunghezza x) e la perpendicolare a AB (la lunghezza y).

Chiama (cosi' ci capiamo) H il punto di intersezione della perpendicolare ad AD passante per P e K quello della perpendicolare a AB da P.

Come vedi HP e' la distanza di P da AD.

Come puoi notare questa lunghezza (se tracci ancora la perpendicolare ad AB da M e chiami S il punto di intersezione con AB lo vedi meglio) e' sempre pari a MD(ovvero l) piu' una lunghezza variabile.

Poniamo dunque HP=l+x

Chiama Q il punto di intersezione tra PH e la retta MQ.

Allora QP=x
MQ=x perche' MN e' l'ipotenusa del triangolo MCN ed e' inclinata di 45 gradi (abbiamo detto che e' la diagonale di un quadrato, per costruzione)

Allora

[math] MP=x \sqrt2 [/math]

E dunque

[math] PN=3l \sqrt2 - x \sqrt2 = (3l-x) \sqrt2 [/math]

A questo punto facciamo lo stesso ragionamento di prima.
PK e' la y del problema, e tracciata la parallela ad AB da N, e detto R il punto di intersezione tra PK e questa parallela, si forma un triangolo rettangolo di angoli 90, 45, 45 di ipotenusa

[math] (3l-x)\sqrt2 [/math]

Pertanto i lati misureranno

[math] 3l-x [/math]

e dunque y sara' 3l-x+l = 4l-x

Abbiamo dunque trovato le distanze che il problema chiama x e y in funzione della variabile da noi scelta:

Quindi la distanza di P da AD sara' l+x mentre la distanza di P da AB sara' 4l-x

Calcoliamo con Pitagora AP^2, ovvero l'ipotenusa del triangolo avente come cateti:
AK=PH=l+x
PK=4l-x

Pertanto per Pitagora avremo

[math] \bar{AP}^2=(l+x)^2+(4l-x)^2= \\ \\ \\ =l^2+x^2+2lx+16l^2+x^2-8lx=2x^2-6lx+17l^2 [/math]

Mentre PB sara' l'ipotenusa del triangolo rettangolo avente come cateti PK=4l-x e AK=AB-PH=4l-(l+x)=3l-x

Quindi

[math] \bar{PB}^2=(4l-x)^2+(3l-x)^2= \\ \\ \\ = 16l^2-8lx+x^2+9l^2+x^2-6lx=2x^2-14lx+25l^2 [/math]

La relazione finale pertanto sara':

[math] 2x^2-6lx+17l^2+2x^2-14lx+25l^2=26l^2[/math]

Da cui

[math] 4x^2-20lx+16l^2=0 \to x^2-5lx+4l^2=0 [/math]

Risolvendo avremo

[math] x=\frac{5l \pm \sqrt{25l^2-16l^2}}{2} = \frac{5l \pm 3l}{2} [/math]

E dunque

[math] x_1=4l \\ \\ x_2=l [/math]

Da cui dunque la lunghezza PH (che il problema chiama "x" ) che era l+x sara'

Per il primo valore 5l (non ammessa abbiamo detto che questa lunghezza e' compresa tra l e 4l

Per il secondo valore trovato 2l. Accettabile
E dunque y che era 4l-x =4l-l=3l

Pertanto i segmenti richiesti sono (uso x e y del problema) x=2l y=3l

Se avessi posto PH=x allora PQ=x-l e cosi' via.

Avresti avuto calcoli piu' complessi, ma il risultato era lo stesso.

Se hai dubbi chiedi.

Senza disegno ho dovuto inserire un sacco di lettere, ma non avevo alternative :)