Salve

[DagoC]

Ciao ragazzi!
Ho un problemone che non riesco a risolvere.
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Determinare per quale valore di alfa le curve di equazione

y=(alfa)x^3 e y=-x^2+1

sono tangenti.
Sarò grato per qualunque tipo di aiuto. Io proprio non ci arrivo, anche se sembra semplice.

[fireball1]

Bellissimo problema, l'ho fatto anche io per prepararmi all'esame
di maturità, dev'essere tratto da "Nuovi Elementi di Matematica Vol C."
Allora, se le curve sono tangenti, vuol dire che le derivate
delle funzioni che rappresentano tali curve devono essere uguali tra loro,
cioè in questo caso (per comodità scriverò a invece di alfa): 3ax^2 = -2x
da cui si ricava: a = -2/(3x). Ora inseriamo questo valore di a nella funzione
y = ax^3 e otteniamo: y = -2/3 x^2. Cerchiamo ora il punto di intersezione
(che poi è il punto di tangenza) tra le due curve, con il sistema:
{y = -2/3 x^2
{y = -x^2 + 1
L'ascissa del punto di intersezione (ci basta questa, infatti,
per determinare a) è x = +/- sqrt(3)/2 . Inserendo quest'ultimo
valore nell'espressione a = -2/(3x) si ottengono i due valori
di a per cui le due curve sono tangenti.

[DagoC]

Ma la derivata di alfa, rimane alfa?

[fireball1]

Cosa c'entra la derivata di alfa???

[DagoC]

Hai detto che bisogna eguagliare le due derivate. Questo perchè?

[fireball1]

Bisogna derivare rispetto ad x, non rispetto ad alfa!!!
Bisogna eguagliarle perché il coefficiente angolare
della retta tangente in quel punto ad una curva dev'essere
uguale al coefficiente angolare della retta tangente
nello stesso punto anche all'altra curva, e la derivata
rappresenta appunto il coeff. angolare della retta
tangente a una curva il cui grafico sia quello di una funzione y = f(x).

[DagoC]

Ok! Grazie mille. Adesso è tutto chiaro!

Edit:L'esercizio è preso infatti da Nuovi Elementi di Matematica C