Rototraslazioni

[Erreelle]

Salve, se possibile mi servirebbe una mano per impostare questo esercizio:

Fissato nel piano un sistema di riferimento ortonormale

[math]R[/math]

, sono dati il punto

[math]A(-2,1)[/math]

e le rette

[math]r:\;2x+y+1=0[/math]

ed

[math]s:\;2x+2y+1=0[/math]

. Sia

[math]R'[/math]

il sistema di riferimento ottenuto facendo ruotare attorno all'origine, in verso antiorario, il semiasse positivo delle ordinate di

[math]R[/math]

del più piccolo angolo che porti ad essere parallelo ad s. Dopo aver scritto le equazioni del cambiamento di riferimento

[math]R \to R'[/math]

, trovare le coordinate di

[math]A[/math]

e l'equiazione di r rispetto ad

[math]R'[/math]

.

[ciampax]

Allora, vediamo un po': per prima cosa, ti ricordo che le equazioni di una rotazione (in senso antiorario) sono date da

[math]x'=x\cos\theta+y\sin\theta,\qquad y'=-x\sin\theta+y\cos\theta[/math]

dove

[math]\theta[/math]

è l'angolo che il nuovo asse delle ascisse forma con quello vecchio. Per determinare tale angolo, visto che vuoi che l'asse delle ordinate risulti parallelo alla retta s, bisogna determinare l'angolo che quest'ultima forma con l'asse x originario. Avendosi

[math]m_s=-1[/math]

, il coefficiente angola, l'angolo cercato coincide con

[math]135^\circ[/math]

. Attento però: tale angolo è quello che ora l'asse y' formerà con l'asse x originario: il tuo angolo di rotazione è invece

[math]\theta=135^\circ-90^\circ=45^\circ[/math]

Avendosi poi

[math]\cos 45^\circ=\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}[/math]

le equazioni della rotazione risultano

[math]x'=\frac{\sqrt{2}}{2}(x+y),\qquad y'=\frac{\sqrt{2}}{2}(y-x)[/math]

Allora

[math]A'\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(-2+1),\frac{\sqrt{2}}{2}(1+2)\right)=\left(-\frac{\sqrt{2}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)[/math]

mentre per l'equazione della retta, avendosi

[math]x=\frac{\sqrt{2}}{2}(x'-y'),\qquad y=\frac{\sqrt{2}}{2}(x'+y')[/math]

si ricava

[math]\sqrt{2}(x'-y')+\frac{\sqrt{2}}{2}(x'+y')+1=0[/math]

da cui l'equazione

[math]r':\qquad 3\sqrt{2} x'-\sqrt{2} y'+2=0[/math]

[Erreelle]

Che dire, grazie mille!

[ciampax]

Prego.