Rompicapo matematico, dimostrazione
Siano a, b, c numeri razionali tali che
$a^3 + 2b^3 + 4c^3 = 8abc$
Si mostri che $a=b=c=0$
Riscrivo l'equazione cambiandola:
$a^3+2b^3+4c^3-8/3 abc-8/3 abc-8/3 abc=0$
Fattorizzo..
$a(a^2-8/3 bc)+b(2b^2-8/3 ac)+c(4c^2-8/3 ab)=0$
Applico in modo strano la legge di annullamento del prodotto:
(le V stanno per "vel" oppure "or" mentre quelle all'incontrario stanno per "et" o "and).
Fatto questo, è evidente che la terna (0,0,0) risolve l'equazione.
E' anche vero se ad un equazione dò un'incognita uguale a 0, nelle altre due annullerò il denominatore, facendole divenire impossibili. Dunque l'unica altra terna sarà ($a^2/(bc) =8/3$, $2b^2/(ac) =8/3$, $4c^2/(ab) =8/3$).
Dunque devo verificare che non esistono terne di valori per a,b,c tali da soddisfare l'equazione...
Penso che dovrei impostare un sistema, ci ho provato e mi ha portato a:
$a=root(3)(2)*b=root(3)(4)*c
Non so come continuare per la dimostrazione...
Risposte
Ciao.
"dreamager":Non la puoi applicare in quel modo.
Applico in modo strano la legge di annullamento del prodotto
La legge si chiama annullamento del prodotto, tu invece annulli gli addendi e non i fattori.
Avete ragione, ora che ci penso... magari tra gli addendi una è uguale a zero e le altre due sono opposte tra loro etc.
Mi aiutate per impostarlo...?
Mi aiutate per impostarlo...?
A mio avviso la prima cosa da fare è scrivere $a=a_1/(a_2)$, $b=b_1/(b_2)$ e $c=c_1/(c_2)$ ed ottenere una versione analoga intera (anziché razionale) moltiplicando per il mcm dei denominatori. Poi finire sarà meno difficile.
Scusa ma non ho capito perché diventa intera e non razionale, né come si dovrebbe proseguire =( Forse non ho gli strumenti, faccio il terzo superiore non scientifico...
Certo che hai gli strumenti.
Siccome $a,b,c$ sono razionali puoi scrivere $a=a_1/(a_2)$, $b=b_1/(b_2)$, $c=c_1/(c_2)$, dove $a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2$ sono interi. Giusto?
Ora sostituisci in $a^3 + 2b^3 + 4c^3 = 8abc$ e ottieni $(a_1)^3/((a_2)^3) + 2(b_1)^3/((b_2)^3) + 4(c_1)^3/((c_2)^3) = 8a_1/(a_2)b_1/(b_2)c_1/(c_2)$.
Ora moltiplica tutto per $a_2^3b_2^3c_2^3$ e ottieni $a_1^3b_2^3c_2^3+2b_1^3a_2^3c_2^3+4c_1^3a_2^3b_2^3 = 8 a_1a_2^2b_1b_2^2c_1c_2^2$.
Ora definisci $x=a_1b_2c_2$, $y=b_1a_2c_2$, $z=c_1a_2b_2$ (osserva che $x,y,z$ risultano essere numeri interi), e ottieni $x^3+2y^3+4z^3=8xyz$. La stessa equazione con le variabili intere.
Risolvere questa è più facile.
Siccome $a,b,c$ sono razionali puoi scrivere $a=a_1/(a_2)$, $b=b_1/(b_2)$, $c=c_1/(c_2)$, dove $a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2$ sono interi. Giusto?
Ora sostituisci in $a^3 + 2b^3 + 4c^3 = 8abc$ e ottieni $(a_1)^3/((a_2)^3) + 2(b_1)^3/((b_2)^3) + 4(c_1)^3/((c_2)^3) = 8a_1/(a_2)b_1/(b_2)c_1/(c_2)$.
Ora moltiplica tutto per $a_2^3b_2^3c_2^3$ e ottieni $a_1^3b_2^3c_2^3+2b_1^3a_2^3c_2^3+4c_1^3a_2^3b_2^3 = 8 a_1a_2^2b_1b_2^2c_1c_2^2$.
Ora definisci $x=a_1b_2c_2$, $y=b_1a_2c_2$, $z=c_1a_2b_2$ (osserva che $x,y,z$ risultano essere numeri interi), e ottieni $x^3+2y^3+4z^3=8xyz$. La stessa equazione con le variabili intere.
Risolvere questa è più facile.
La spiegazione era chiara, solo che se si impostano i numeri con il pedice come interi, dopo x,y e z sono tutti prodotti di questi tra loro, dunque tolgo loro la possibilità di essere primi, sbaglio?
Per il resto non riesco a risolvere... ho provato a fattorizzare con la somma tra cubi $(x^3)+(2y^3)+(4y^3) = (x^3+y^3)+(y^3+z^3)+z^3$ e cose così, ma è un pò come Penelope con la tela (ndr. la moglie di Ulisse).
Per il resto non riesco a risolvere... ho provato a fattorizzare con la somma tra cubi $(x^3)+(2y^3)+(4y^3) = (x^3+y^3)+(y^3+z^3)+z^3$ e cose così, ma è un pò come Penelope con la tela (ndr. la moglie di Ulisse).
Intanto puoi notare che $x$ deve essere pari [Perchè?]
Poi, da questo deduci che anche $y$ lo deve essere [Stesso ragionamento di prima] e anche $z$
Poi, da questo deduci che anche $y$ lo deve essere [Stesso ragionamento di prima] e anche $z$
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