Risultato di una funzione composta

[oleg.fresi]

Risolvendo un integrale ho ottenuto questo risultato: $cos(arcsinx)$ che non sapevo come semplificare, poi con un'applicazione mi ha dato $cos(arcsinx)=sqrt(1-x^2)$. Potreste spiegarmi il perchè di questa conclusione?

[@melia]

L'arcoseno varia tra $-pi/2$ e $pi/2$, dove il coseno è positivo. Il seno dell'arcoseno di x, vale x,
$ sin (arcsinx)=x $, allora il coseno quanto vale? Tieni conto che è sempre positivo per via dell'intervallo di esistenza dell'arcoseno.

[oleg.fresi]

il coseno in quell'intervallo è: $cosx=sqrt(1-sin^2x)$

[Lo_zio_Tom]

poniamo $y =arcsin(x)$

Sappiamo che

$sin^2(y)+cos^2(y)=1$

ovvero

$sin(arcsin(x))*sin(arcsin(x))+cos^2(arcsin(x))=1$

ora, essendo evidentemente $sin(arcsin(x))=x$

otteniamo subito

$cos^2(arcsin(x))=1-x^2$

che è come dire

$cos(arcsin(x))=sqrt(1-x^2)$

fine

In modo del tutto simile puoi divertirti a dimostrare anche le altre relazioni note:

$sin (arc cos(x))$

$sin(arctan(x))$

$cos(arctan(x))$

[oleg.fresi]

Non capisco perchè nei libri non sono riportate queste formule. Se non fosse stato per questo esercizio non le avrei scoperte.

[@melia]

Il libro non può riportare tutto. Devi imparare a ragionare da solo.

[oleg.fresi]

Beh diciamo che agli inizi non dovrebbe essere così, una volta acquisita più abilità in matematica si possono lasciare all'allievo le dimostrazioni.