Risolvere sistema

[matteo28]

Ciao a tutti mi potete un po spiegare come si risolve questo sistema? non mi ricordo benissimo... grazie 1000

[92kiaretta]

Ok allora si tratta di trovare i valori di x e y.

[math] \begin{cases}x^{2}+y^{2}+3x-3y-2=0\\3x-2y+1=0\end{cases}[/math]

esplicitiamo la y dalla seconda equazione cioè

[math] \begin{cases}x^{2}+y^{2}+3x-3y-2=0\\-2y=-1-3x\end{cases}[/math]

[math]\begin{cases}x^{2}+y^{2}+3x-3y-2=0\\y=\frac{1+3x}{2}\end{cases}[/math]

sostituiamo ora questo valore nella prima espressione ( per comodità nel sistema non riscrivo la seconda equazione)

[math]\begin{cases}x^{2}+(\frac{1+3x}{2})^{2}+3x-3(\frac{1+3x}{2})-2=0\\ / \end{cases}[/math]

[math]x^{2}+\frac{1}{4}+\frac{9}{4}x^{2}+\frac{6}{4}x+3x-\frac{3}{2}-\frac{9}{2}-2=0[/math]

facciamo il MCM e otteniamo

[math] \frac{4x^{2}+1+9x^{2}+6x+12x-6-18x-8}{4}=0[/math]

[math]13x^{2}-13=0[/math]

quindi hai che

[math]x^{2}=1[/math]

cioè x=+-1
ora sostituisci questi valori nella seconda equazione iniziale e ottieni
3-2y+1=0 cioè y=2 quando x=1 e
-3-2y+1=0 cioè y=-1 quando x=-1

[matteo28]

ok grazie ho capito però non mi è chiarissimo il passaggio nello specifico x^2 + (1+3x/2) + 3x-3 ecc. ecc.

[92kiaretta]

Nella riga prima abbiamo trovato che

[math]y=\frac{1+3x}{2}[/math]

. Ora sostituiamo al posto della y della prima equazione il valore

[math]\frac{1+3x}{2}[/math]

e così si ottiene tutto il resto.
Ora ti sembra più chiaro? Altrimenti te lo rispiego

[matteo28]

io intendevo come abbiamo ottenuto x^2 + 1/4 + 9/4 x^2 ecc. ecc. scusa per la domanda stupida ma sono un po impedito di mate...

[92kiaretta]

Quella è la prima equazione del sistema (ho riscritto solo l'equazione per comodità) e l'abbiamo ottenuta sostituendo la y come ho detto prima e poi ho semplicemente svolto i conti.
Forse non ti torna perchè ho scritto

[math]y=\frac{1+3x}{2}[/math]

ma questo non è altro che

[math]y=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}x[/math]

quindi dato che abbiamo

[math] x^{2}+(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}x)^{2}+3x-3(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}x)-2=0[/math]

calcoliamo innanzitutto la prima parentesi che viene

[math]\frac{1}{4}+\frac{9}{4}x^{2}+\frac{6}{4}x[/math]

che si ottiene elevando prima al quadrato il primo termine, poi elevando al quadrato il secondo termine e poi facendo il prodotto del primo e secondi termine e il risultato moltiplicarlo per 2.
per quanto rigurada la seconda parentesi basta moltiplicare il contenuto della parentesi per -3 e si ottiene tutto il resto

[matteo28]

grazie vorrei averti come prof