Risolvere la disequazione
Si risolva la disequazione:
grazie...
[math](3^{2x}-3^{x}-2)\cdot \sqrt{1+log_{\frac{2}{\pi }}\left ( arccos \frac{x}{x-1} \right )}\geq 0[/math]
grazie...
Risposte
Bada bene che si ha
Ora sapresti proseguire? :)
[math]
\left(3^{2x}-3^x-2\right)
\sqrt{1+\log_{\frac{2}{\pi}}\left(\arccos\frac{x}{x-1}\right)}\ge 0
\; \; \; \Leftrightarrow \\
\begin{cases}
3^{2x}-3^x-2 \ge 0 \; \vee \;
1+\log_{\frac{2}{\pi}}\left(\arccos\frac{x}{x-1}\right) = 0 \\
1+\log_{\frac{2}{\pi}}\left(\arccos\frac{x}{x-1}\right) \ge 0
\end{cases}
\; \; \; \Leftrightarrow \\
\begin{cases}
\left(3^x+1\right)\left(3^x-2\right) \ge 0 \; \vee \;
\arccos\frac{x}{x-1} = \frac{\pi}{2} \\
0 < \arccos\frac{x}{x-1} \le \frac{\pi}{2}
\end{cases}
[/math]
\left(3^{2x}-3^x-2\right)
\sqrt{1+\log_{\frac{2}{\pi}}\left(\arccos\frac{x}{x-1}\right)}\ge 0
\; \; \; \Leftrightarrow \\
\begin{cases}
3^{2x}-3^x-2 \ge 0 \; \vee \;
1+\log_{\frac{2}{\pi}}\left(\arccos\frac{x}{x-1}\right) = 0 \\
1+\log_{\frac{2}{\pi}}\left(\arccos\frac{x}{x-1}\right) \ge 0
\end{cases}
\; \; \; \Leftrightarrow \\
\begin{cases}
\left(3^x+1\right)\left(3^x-2\right) \ge 0 \; \vee \;
\arccos\frac{x}{x-1} = \frac{\pi}{2} \\
0 < \arccos\frac{x}{x-1} \le \frac{\pi}{2}
\end{cases}
[/math]
Ora sapresti proseguire? :)
non riesco a risolvere..
mi potresti aiutare.. come mai hai imposto che arccos x/x-1 sia uguale a
mi potresti aiutare.. come mai hai imposto che arccos x/x-1 sia uguale a
[math]\pi/2[/math]
# reanto91 :
come mai hai imposto che arccos x/x-1 sia uguale a[math]\pi/2[/math]
Osserva che
[math]
1+\log_{\frac{2}{\pi}}\left(\arccos\frac{x}{x-1}\right)=0
\; \; \; \Leftrightarrow \; \; \;
\log_{\frac{2}{\pi}}\left(\arccos\frac{x}{x-1}\right)=-1
\; \; \; \Leftrightarrow \\
\left(\frac{2}{\pi}\right)^{\log_{\frac{2}{\pi}}\left(\arccos\frac{x}{x-1}\right)}=\left(\frac{2}{\pi}\right)^{-1}
\; \; \; \Leftrightarrow \; \; \;
\arccos\frac{x}{x-1}=\frac{\pi}{2}\\
[/math]
1+\log_{\frac{2}{\pi}}\left(\arccos\frac{x}{x-1}\right)=0
\; \; \; \Leftrightarrow \; \; \;
\log_{\frac{2}{\pi}}\left(\arccos\frac{x}{x-1}\right)=-1
\; \; \; \Leftrightarrow \\
\left(\frac{2}{\pi}\right)^{\log_{\frac{2}{\pi}}\left(\arccos\frac{x}{x-1}\right)}=\left(\frac{2}{\pi}\right)^{-1}
\; \; \; \Leftrightarrow \; \; \;
\arccos\frac{x}{x-1}=\frac{\pi}{2}\\
[/math]
(a patto di fissare le condizioni di esistenza come sopra scritte)
e quindi cosa devo fare.. devo risolvere il sistema che mi hai scritto??.. inoltre come hai fatto ad eliminare la radice quadrata??
Osserva bene la disequazione. A membro sinistro è presente un prodotto tra due fattori di cui il secondo è sempre non negativo a patto che sia ben definito.
Allora che si fa? Si osserva che tale disequazione ha la stessa soluzione del sistema associato la cui seconda entrata è costituita dalla condizione di esistenza della radice quadrata mentre la prima è data dall'unione di due condizioni: la positività del primo fattore di cui non conosciamo a priori il segno e dall'annullamento dell'argomento della radice quadrata (se vuoi poi approfondiamo quest'ultimo fatto dato che non è banale).
A questo punto non rimane che risolve quel sistema come ho iniziato a mostrarti sopra: è sufficiente procedere dal punto in cui mi sono arrestato. Se non fossero chiari altri punti esplicitali pure che cerchiamo di discuterne assieme ;)
Allora che si fa? Si osserva che tale disequazione ha la stessa soluzione del sistema associato la cui seconda entrata è costituita dalla condizione di esistenza della radice quadrata mentre la prima è data dall'unione di due condizioni: la positività del primo fattore di cui non conosciamo a priori il segno e dall'annullamento dell'argomento della radice quadrata (se vuoi poi approfondiamo quest'ultimo fatto dato che non è banale).
A questo punto non rimane che risolve quel sistema come ho iniziato a mostrarti sopra: è sufficiente procedere dal punto in cui mi sono arrestato. Se non fossero chiari altri punti esplicitali pure che cerchiamo di discuterne assieme ;)
Allora ho risolto:
3^(2x)-3^x-2 >= 0
posto t = 3^x, segue t^2 = 3^(2x). Sostituendo:
t^2 - 3t - 2 >= 0
(t - 2)(t + 1) >= 0
t = 2
3^x = 2
la prima disequazione non è mai verificata in R. Rimane allora la seconda:
3^x >= 2
{x = log_3 (2)
mai verificata in R.
va bene...
per la radice quadrata e l'arcocoseno non sò proprio cosa devo fare??
3^(2x)-3^x-2 >= 0
posto t = 3^x, segue t^2 = 3^(2x). Sostituendo:
t^2 - 3t - 2 >= 0
(t - 2)(t + 1) >= 0
t = 2
3^x = 2
la prima disequazione non è mai verificata in R. Rimane allora la seconda:
3^x >= 2
{x = log_3 (2)
mai verificata in R.
va bene...
per la radice quadrata e l'arcocoseno non sò proprio cosa devo fare??
Purtroppo non va bene. A parte un errore di battitura nella quarta riga (poi la fattorizzazione è corretta), per quale motivo hai posto a sistema quell'x minore o uguale di zero? :)
e cosa è che non va?? ho messo x
E da quando in qua la funzione esponenziale necessita di condizioni d'esistenza ?? E' tutto corretto quello che hai scritto eccetto quest'erroraccio (scusa se sono schietto ma desidero che arrivi il messaggio).
Quindi, tolto quel vincolo la prima disequazione è risolta. Sull'equazione l'ho già iniziata, è sufficiente proseguire "alla stessa maniera". Applichi ambo i membri la funzione inversa dell'arcocoseno, ossia il coseno, (imponendo le condizioni di esistenza sull'argomento dell'arcocoseno) e a quel punto sei al traguardo anche sulla risoluzione dell'equazione. Riesci a risolverla oppure è meglio se ti mostro tutti i passaggini? :)
Quindi, tolto quel vincolo la prima disequazione è risolta. Sull'equazione l'ho già iniziata, è sufficiente proseguire "alla stessa maniera". Applichi ambo i membri la funzione inversa dell'arcocoseno, ossia il coseno, (imponendo le condizioni di esistenza sull'argomento dell'arcocoseno) e a quel punto sei al traguardo anche sulla risoluzione dell'equazione. Riesci a risolverla oppure è meglio se ti mostro tutti i passaggini? :)
Se è possibile è meglio che mi mostri tutti i passaggi...grazie
Ok, come desideri.
(Le condizioni di esistenza le consideriamo in blocco nella disequazione).
A questo punto, cercando di riassumere un po', abbiamo che
Alla luce di quanto scritto, prova a risolvere perlomeno
una delle due disequazioni rimanenti ;)
[math]
1+\log_{\frac{2}{\pi}}\left(\arccos\frac{x}{x-1}\right)=0
\; \; \; \Leftrightarrow \; \; \;
\log_{\frac{2}{\pi}}\left(\arccos\frac{x}{x-1}\right)=-1
\; \; \; \Leftrightarrow \\
\left(\frac{2}{\pi}\right)^{\log_{\frac{2}{\pi}}\left(\arccos\frac{x}{x-1}\right)}=\left(\frac{2}{\pi}\right)^{-1}
\; \; \; \Leftrightarrow \; \; \;
\arccos\frac{x}{x-1}=\frac{\pi}{2}
\; \; \; \Leftrightarrow\\
\frac{x}{x-1}=0
\; \; \; \Leftrightarrow \; \; \;
x=0 \; . \\
[/math]
1+\log_{\frac{2}{\pi}}\left(\arccos\frac{x}{x-1}\right)=0
\; \; \; \Leftrightarrow \; \; \;
\log_{\frac{2}{\pi}}\left(\arccos\frac{x}{x-1}\right)=-1
\; \; \; \Leftrightarrow \\
\left(\frac{2}{\pi}\right)^{\log_{\frac{2}{\pi}}\left(\arccos\frac{x}{x-1}\right)}=\left(\frac{2}{\pi}\right)^{-1}
\; \; \; \Leftrightarrow \; \; \;
\arccos\frac{x}{x-1}=\frac{\pi}{2}
\; \; \; \Leftrightarrow\\
\frac{x}{x-1}=0
\; \; \; \Leftrightarrow \; \; \;
x=0 \; . \\
[/math]
(Le condizioni di esistenza le consideriamo in blocco nella disequazione).
A questo punto, cercando di riassumere un po', abbiamo che
[math]
\begin{cases}
\left(3^x+1\right)\left(3^x-2\right) \ge 0 \; \vee \;
\arccos\frac{x}{x-1} = \frac{\pi}{2} \\
0 < \arccos\frac{x}{x-1} \le \frac{\pi}{2}
\end{cases}
\; \; \; \Leftrightarrow \\
\begin{cases}
x\ge\log_3 2 \; \vee \;
x=0 \\
\arccos\frac{x}{x-1}>0\\
\arccos\frac{x}{x-1} \le \frac{\pi}{2}
\end{cases}\\
[/math]
\begin{cases}
\left(3^x+1\right)\left(3^x-2\right) \ge 0 \; \vee \;
\arccos\frac{x}{x-1} = \frac{\pi}{2} \\
0 < \arccos\frac{x}{x-1} \le \frac{\pi}{2}
\end{cases}
\; \; \; \Leftrightarrow \\
\begin{cases}
x\ge\log_3 2 \; \vee \;
x=0 \\
\arccos\frac{x}{x-1}>0\\
\arccos\frac{x}{x-1} \le \frac{\pi}{2}
\end{cases}\\
[/math]
Alla luce di quanto scritto, prova a risolvere perlomeno
una delle due disequazioni rimanenti ;)
Essendo 0 < 2/π < 1:
arcos x/(x-1)
arcos x/(x-1)
Oh, diciamo che siamo quasi al traguardo. Bella risoluzione, molto buona. Alcune osservazioni. Nelle prime due righe del tuo ultimo intervento in qualche modo hai fatto "sparire" il logaritmo (come giusto che sia): in tal caso, però, occorre "accostare" anche la condizione di esistenza sull'"ex" argomento del logaritmo, ossia porre l'arcocoseno strettamente maggiore di zero (nota l'ultimo sistema che ho scritto sopra). Quindi, in sostanza, riferendomi sempre al sistema di cui sopra, tu hai risolto perfettamente l'ultima disequazione: ti rimane da sbrigare la penultima. A quel punto, non rimane che amalgamare il tutto ed "estrarre" la soluzione definitiva. Dai, su, che sei alla fine ;)
P.S.: quell'h nell'ultima riga non si può vedere :D
P.S.: quell'h nell'ultima riga non si può vedere :D
abbiamo allora:
e quindi
e quindi:
x>1
va bene?? potresti quindi ricapitolare il tutto???
[math]\frac{x}{x-1}> 1[/math]
e quindi
[math]\frac{x-x+1}{x-1}> 0[/math]
[math]\frac{1}{x-1}> 0[/math]
e quindi:
x>1
va bene?? potresti quindi ricapitolare il tutto???
No, non va bene. Bada bene che il dominio della funzione arcocoseno è
mentre il proprio codominio è
[math]
\arccos\left(\frac{x}{x-1}\right)>0
\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;
-1
[math][-1,\,1]\\[/math]
mentre il proprio codominio è
[math][0,\,\pi][/math]
. Alla luce di ciò segue che [math]
\arccos\left(\frac{x}{x-1}\right)>0
\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;
-1
grazie mille..
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