Risolvere il limite che tende a meno infinito

[mate15]

salve spero che mi possiate aiutare con questo limite...
si calcoli,se esiste, utilizzando i limiti notevoli, il seguente limite:

[math]\lim_{x \to -\infty }log\left ( cos\frac{1}{x} \right )\cdot \left ( x^{3}-3x+sin(x) \right )[/math]

allora ho provato a risolvere in questo modo..
essendo il limite di un prodotto vale la regola del limite dei prodotti ovvero:

[math]\lim_{x \to -\infty }log\left ( cos\frac{1}{x} \right )[/math]

e

[math]\lim_{x \to -\infty }\left ( x^{3}-3x+sin(x) \right )[/math]

quindi per il secondo limite in questione ho pensato a risolverlo in questa maniera:

[math]\lim_{x \to -\infty }\left ( x^{3}-3x+sin(x) \right )=[/math]

[math]=\lim_{x \to -\infty } x^{3}-3x + \lim_{x \to -\infty } sin(x)=[/math]

[math]=-\infty + [-1,1]=-\infty[/math]

è giusto??
per l'altro limite come lo risolvo...
se mi potete aiutare..
grazie..

[ciampax]

Il primo limite è abbastanza banale: per

[math]x\to -\infty[/math]

hai che

[math]1/x\to 0^-[/math]

, per cui...

P.S.: il problema è che alla fine dovresti trovarti con una fomra indeterminata del tipo

[math]0\cdot\infty[/math]

, per cui procedere come hai fatto non mi sembra la cosa migliore. Io ti consiglio di porre

[math]t=1/x[/math]

e vedere cosa succede.

[mate15]

allora ho provato in tal modo:
Dunque, vogliamo calcolare

[math]\lim_{x \to -\infty }log\left ( cos\frac{1}{x} \right )[/math]

sostituendo

[math]t=1/x[/math]

il limite tenderà a zero ovvero:

[math]\begin{aligned} \lim_{x\to 0}\log(\cos t) \; . \end{aligned}\\[/math]

Cominciamo sommando e sottraendo

[math]1[/math]

all'argomento del logaritmo:

[math]\begin{aligned} \lim_{x\to 0} \log(\cos t+1-1) \; . \end{aligned}\\[/math]

e manipoliamo leggermente tale scrittura come segue:

[math]\begin{aligned} \lim_{t\to 0} \log(1+\left(\cos t-1\right)) \; . \end{aligned}\\[/math]

adesso moltiplico e divido

[math]\begin{aligned} \lim_{t\to 0} \frac{\log(1+\left(\cos t-1\right))}{\cos t-1}\left(\cos t-1\right) \end{aligned}\\[/math]

e ancora

[math]\begin{aligned} \lim_{t\to 0} \frac{\log(1+\left(\cos t-1\right))}{\cos t-1}\frac{\cos t-1}{t^2}t^2 \end{aligned} \; .\\[/math]

è giusto???
ora come posso continuare...
e per l'altro limite cosa devo fare..
se mi potete aiutare..
grazie..

[ciampax]

Avrei usato il limite notevole del coseno già all'interno del logaritmo:

[math]\lim_{t\to 0^-}\log(\cos t)=\lim_{t\to 0^-}\log(1+(\cos t-1))=\\ \lim_{t\to 0^-}\log\left(1+\frac{\cos t-1)}{t^2}\cdot t^2\right)= \lim_{t\to 0^-}\log(1-t^2/2)=\\ \lim_{t\to 0^-}\frac{\log(1-t^2/2)}{-t^2/2}\cdot\left(-\frac{t^2}{2}\right)=\lim_{t\to 0^-}-\frac{t^2}{2}[/math]

Poiché per l'altro termine si ha

[math]\lim_{t\to 0^-} \frac{1}{t^3}-\frac{3}{t}+\sin\frac{1}{t}=\lim_{t\to 0^-}\frac{1}{t^3}[/math]

ne segue che il limite di partenza equivale a questo:

[math]\lim_{t\to 0^-} -\frac{t^2}{2}\cdot\frac{1}{t^3}=-\lim_{t\to 0^-}\frac{1}{2t}=+\infty[/math]

[mate15]

scusa ma potresti spiegarti meglio..
non ho capito cosa hai fatto..
se me lo potessi rispiegare..
grazie..

[ciampax]

Cosa non ti è chiaro?

[mate15]

Il passaggi da x a t..perche zero dsa
sinistra e non semplicemrnte zero???

Come hai utilizzato il limite del coseno
e inoltre come hai sviluppato l'altro
limite ovvero (x^3-3x+sin x)...

Se mi puoi aiutare a chiarire questi
dubbi..

Grazie.

[ciampax]

Se applichi la trasformazione

[math]t=1/x[/math]

, dal momento che

[math]x\to -\infty[/math]

avrai

[math]t\to 0^-[/math]

in quanto il rapporto risulta sempre negativo.

Per il limite del coseno, ti ricordo che vale

[math]\lim_{t\to 0}\frac{1-\cos t}{t^2}=\frac{1}{2}[/math]

: ho sostanzialmente fatto quello che hai fatto tu, sommare e sottrarre 1 nella parentesi, dopodiché dividendo e moltiplicando per

[math]t^2[/math]

la parte con

[math]\cos t-1[/math]

ho fatto in modo di far apparire tale limite notevole, per cui ho sostituito con

[math]-1/2[/math]

. Stesso ragionamento con il limite del logaritmo

[math]\lim_{y\to 0}\frac{\log(1+y)}{y}=1[/math]

: in questo caso è come se fosse

[math]y=-t^2/2[/math]

Poiché nel termine con le potenze di x abbiamo visto che

[math]\lim_{x\to-\infty} x^3-3x+\sin x=\lim_{x\to -\infty} x^3[/math]

in quanto gli altri termini sono "mangiati" dalla potenza più grande, ho tenuto conto solo di tale potenza che, con la trasformazione posta, diventa

[math]1/t^3[/math]

. Alla fine è solo una questione di prodotti di potenze e semplificazioni.