Risolvere il limite

[reanto91]

si calcoli se esiste il seguente limite con metodi dei limiti notevoli:

[math]\lim_{x\to \infty }log ( 1+\frac{1}{x} )\cdot \frac{x3^{2x}- sin x+x^{3}}{9^{x}-arctanx}[/math]

grazie mille...

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Dunque, facciamo un patto: io ti indico la "strada" (che ritengo ottimale) e tu ci mostri i passaggi in matematichese: ci stai? :)

In questo caso, per amor di semplicità, ti invito a ragionare sul secondo fattore. Siamo interessati al comportamento di numeratore e denominatore per

[math]x\to +\infty[/math]

, ossia per valori di

[math]x[/math]

enormi positivi. Osservato ciò, come possiamo semplificare tale frazione? Indizio: ragionare sulla gerarchia degli infiniti, ossia sul fatto che in tali condizioni alcune funzioni sono talmente "insignificanti" (o "corrono" verso tale limite molto più lentamente oppure oscillando non ammettono limite) rispetto
alle altre che è lecito trascurarle.

A quel punto siamo a cavallo!! Infatti, con una banale sostituzione, ci si può riportare ad un famoso limite notevole (come tanto desideri) e concludere il calcolo.

Dai, ora mostraci qualche passaggio senza alcun timore, solo così potrai imparare a risolverli da solo :)

[reanto91]

Ok ta bene.. Ma almeno mi potresti dire come
posso iniziare perché non ho capito
come impostarlo, grazie

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Lo si inizia come ti ho scritto sopra. Devi ragionare sulla gerarchia degli infiniti capendo
quali addendi a numeratore e a denominatore del secondo fattore si possono trascurare.

In particolare, ti ricordo che, per

[math]x\to +\infty[/math]

, si ha

[math]\log_a x \ll x^b \ll x \ll x^a \ll a^x \ll x! \ll x^x \; \; [/math]

per

[math]a>1[/math]

, [math]0

[reanto91]

allora ho provato a risolvere in questo modo:

[math]lim_{x\to \infty} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\ \frac{x 3^{2x}}{ 9^x}\ \frac{1-\frac{\sin x}{x3^{2x}} + \frac{x^3}{x 3^{2x}}}{1-\frac{\arctan x}{9^x}}[/math]

[math]lim_{x\to \infty} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\ x\ \frac{1-\frac{\sin x}{x3^{2x}} + \frac{x^3}{x 3^{2x}}}{1-\frac{\arctan x}{9^x}}[/math]

[math]lim_{x\to \infty} \frac{\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}\ \frac{1-\frac{\sin x}{x3^{2x}} + \frac{x^3}{x 3^{2x}}}{1-\frac{\arctan x}{9^x}}[/math]

quindi il limite tende a 1... é esatto??? o sbaglia????

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Sì, è corretto :)

Più semplicemente, basta scrivere...

[math]\begin{align} &.. \lim_{x\to +\infty} \log\left(1+\frac{1}{x}\right)\frac{x\,3^{2x}-\sin x+x^3}{9^x-\arctan x} \\ &= \lim_{x\to +\infty} \log\left(1+\frac{1}{x}\right)\frac{x\,3^{2x}}{3^{2x}} \\ &= \lim_{x\to +\infty} \frac{\log\left(1+\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}} \\ &= \lim_{t\to 0} \frac{\log(1+t)}{t} \\ &= 1 \end{align}\\[/math]

Ciao!