Risolvere disequazione esponenziale

[insule23]

salve avrei bisogno del vostro aiuto riguardo questa disequazione
si risolva la disequazione:

[math]\left ( e^{sin\left ( 2x \right )-cosx} -1\right )\cdot \sqrt{\pi ^{2}-x^{2}}> 0[/math]

il libro mi consiglia di scrivere il primo fattore come:

[math]\left ( e^{sin\left ( 2x \right )-cosx} -1\right )> 0[/math]

[math]\left ( e^{sin\left ( 2x \right )-cosx} \right )> 1[/math]

[math]\left ( {sin\left ( 2x \right )-cosx} \right )> 0[/math]

se mi potete spiegare i passaggi che ha fatto il libro e a dirmi come potrei continuare..
se mi potete aiutare ,fatemi sapere..
grazie

[bimbozza]

Questa disequazione si risolve studiando il segno dei due fattori: si pongono entrambi

[math]>0[/math]

e la soluzione sarà data dagli intervalli in cui abbiamo segni concordi.
Il tuo libro quindi parte a studiare il primo fattore ponendolo

[math]>0[/math]

. Nel passaggio successivo ha portato

[math]1[/math]

a secondo membro e, successivamente, ha scritto

[math]1[/math]

come

[math]e^0[/math]

.
A questo punto ti ritrovi una disequazione esponenziale in cui i due termini hanno la stessa base perciò ti basta confrontare gli esponenti.
Per continuare ti consiglio di fare la sostituzione

[math]sin2x=2sinxcosx[/math]

per poi raccogliere un

[math]cosx[/math]

. Se hai altri dubbi, chiedi pure.

[insule23]

va bene quindi avremo che:

[math]sin2x-cosx> 0[/math]

[math]2sinx cosx-cosx> 0[/math]

[math]cos x(2sinx-1)>0[/math]

che è vera quando i due fattori sono concordi,quindi

[math]cosx> 0\rightarrow -\frac{\pi }{2}+2k\pi < x< \frac{\pi }{2}+2k\pi[/math]

e

[math]2sinx-1>0\rightarrow sinx>\frac{1}{2}[/math]

cioè

[math] \frac{\pi }{6}+2k\pi < x< \frac{5 }{6}\pi+2k\pi [/math]

è giusto???..
fammi sapere...
grazie..

[bimbozza]

E' giusta, ma ti manca lo studio del segno finale.

[insule23]

quindi abbiamo che:

[math]\sqrt{\pi ^{2}-x^{2}}> 0[/math]

per

[math]-\pi < x< \pi [/math]

e quindi la disequazione data è verificata per:

[math]\frac{\pi }{6}< x< \pi \vee x> \frac{5}{6}\pi[/math]

è giusto??
fatemi sapere..