Risoluzione problema formula bisezione
Ciao a tutti, mi aiutate a risolvere il problema che ho allegato con la formula di bisezione, l'ho rifatto almeno 15 volte ma non mi viene!! Se avete bisogno posto i passaggi che ho fatto.
Risposte
Non mi sembra complicato … ricorda che $tan x = (sin x)/(cos x)$
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
$[4*sin(alpha/2)*cos(\alpha/2)]/tan(\alpha/2)-1=[2*sin(\alpha)]/[sin(\alpha)/(1+cos(\alpha))]-1=2+2cos(\alpha)-1=1+2*cos(\alpha)$
Una soluzione alternativa che sfrutta al massimo le bisezioni e duplicazioni.
Ciao.
Una soluzione alternativa che sfrutta al massimo le bisezioni e duplicazioni.
Ciao.
"SirDanielFortesque":
$[4*sin(alpha/2)*cos(\alpha/2)]/tan(\alpha/2)-1=[2*sin(\alpha)]/[sin(\alpha)/(1+cos(\alpha))]-1=2+2cos(\alpha)-1=1+2*cos(\alpha)$
Una soluzione alternativa che sfrutta al massimo le bisezioni e duplicazioni.
Ciao.
Ciao e grazie per la risposta, io avevo fatto dei conti diversi ma li ho in PDF, è possibile caricarli qui? Ho provato ad allegarlo alla risposta in "aggiungi immagine" ma non lo allega.
Riusciresti gentilmente a spiegarmi i passaggi che hai fatto perché non riesco sinceramente a comprendere . Grazie mille
Saluti
Ho applicato la formula $2*sin(p)*cos(p)=sin(2p)$ (tu in questo caso hai $p=\alpha/2$
Ho applicato la formula $tan(\alpha/2)=sin(\alpha)/(1+cos(\alpha))$ che è una formula di bisezione della tangente.
Qua non si mettono pdf.
Ciao.
Ho applicato la formula $tan(\alpha/2)=sin(\alpha)/(1+cos(\alpha))$ che è una formula di bisezione della tangente.
Qua non si mettono pdf.
Ciao.
"SirDanielFortesque":
Ho applicato la formula $2*sin(p)*cos(p)=sin(2p)$ (tu in questo caso hai $p=\alpha/2$
Ho applicato la formula $tan(\alpha/2)=sin(\alpha)/(1+cos(\alpha))$ che è una formula di bisezione della tangente.
Qua non si mettono pdf.
Ciao.
Grazie mille, quando ho un secondo la provo e poi ti dico se l'esercizio mi è riuscito!
Io avevo trasformato direttamente alfa/2 nella radice quadrata con la formula di bisezione ma evidentemente non si svolge così l'esercizio!
Saluti
Si lo puoi svolgere anche così. Come ho scritto la mia è un alternativa alla soluzione con le radici, dove devi applicare i prodotti notevoli fare un po' di semplificazioni ecc. ecc.
"SirDanielFortesque":
Una soluzione alternativa che sfrutta al massimo le bisezioni e duplicazioni.
Ciao a tutti, ho provato ad applicare le formule che mi avete fornito ma qualcosa non mi torna. Posto qui le mie domande unitamente ai calcoli precedentemente fatti :
1) Applicando la formula di duplicazione sin(2p) ottengo 2sin(p) cos(p) . Perché nella formula mi è stato indicato invece 4sin (p) cos (p) ? Come faccio a passare da 2 a 4?
2)Il numero 2 a destra dell'equazione da dove arriva?
3) Al denominatore perché usate sin(alfa) / 1+cos(alfa)? Invece di 1-cos (alfa) / sin(alfa) ?
Grazie. Saluti
1) Applicando la formula di duplicazione sin(2p) ottengo 2sin(p) cos(p) . Perché nella formula mi è stato indicato invece 4sin (p) cos (p) ? Come faccio a passare da 2 a 4?
2)Il numero 2 a destra dell'equazione da dove arriva?
3) Al denominatore perché usate sin(alfa) / 1+cos(alfa)? Invece di 1-cos (alfa) / sin(alfa) ?
Grazie. Saluti
Ti avevo fornito un'indicazione banale ($ tan x = (sin x)/(cos x) $), bastava seguirla … 
Pongo $x=alpha/2$ ma solo perché ci metto meno a scriverla …
$(4*sin(x)*cos(x))/(tan(x))-1=4*sin(x)*cos(x)*cos(x)/sin(x)-1=4*(cos(x))^2-1$
Risostituisco …
$4*(cos(alpha/2))^2-1=4*(1+cos(alpha))/2-1=2+2cos(alpha)-1=1+2cos(alpha)$
Pongo $x=alpha/2$ ma solo perché ci metto meno a scriverla …
$(4*sin(x)*cos(x))/(tan(x))-1=4*sin(x)*cos(x)*cos(x)/sin(x)-1=4*(cos(x))^2-1$
Risostituisco …
$4*(cos(alpha/2))^2-1=4*(1+cos(alpha))/2-1=2+2cos(alpha)-1=1+2cos(alpha)$
"axpgn":
Ti avevo fornito un'indicazione banale ($ tan x = (sin x)/(cos x) $), bastava seguirla …
Pongo $x=alpha/2$ ma solo perché ci metto meno a scriverla …
$(4*sin(x)*cos(x))/(tan(x))-1=4*sin(x)*cos(x)*cos(x)/sin(x)-1=4*(cos(x))^2-1$
Risostituisco …
$4*(cos(alpha/2))^2-1=4*(1+cos(alpha))/2-1=2+2cos(alpha)-1=1+2cos(alpha)$
Ciao, ho seguito letteralmente le tue indicazioni ed effettivamente l'esercizio è venuto con estrema semplicità! Mi chiedo però, nei conti che avevo postato cos'è che ho sbagliato di fatto? Grazie mille ancora per l'aiuto!!
Di fatto non è bene utilizzare gli elevamenti al quadrato con troppa liberalità in quanto potresti introdurre soluzioni che nell'equazione iniziale non c'erano.
EDIT: ANZI l'errore è proprio concettuale. Tu mi metti un uguale e vai a risolvere un'equazione che prima non c'era. Ti sei inventato il testo dell'esercizio!
EDIT: ANZI l'errore è proprio concettuale. Tu mi metti un uguale e vai a risolvere un'equazione che prima non c'era. Ti sei inventato il testo dell'esercizio!
Oltre a quanto giustamente detto da @Sir, aggiungo che non è detto che tu abbia sbagliato qualcosa, può darsi che ti sei semplicemente infilato in una strada complicata.
"SirDanielFortesque":
Ti sei inventato il testo dell'esercizio!
Vero!
Non accade così raramente però... Succede spesso.
A quanto ti hanno già scritto aggiungo che tu usi la formula
$sin frac alpha 2=sqrt((1-cos alpha)/2)$
e l'analoga col coseno. No: la formula vera è
$sin^2 frac alpha 2=(1-cos alpha)/2 hArr sin frac alpha 2=+-sqrt((1-cos alpha)/2)$
ed occorre ragionare per scegliere il segno. Per evitare questo tipo di guai, è bene assumere come regola il cercare sempre un metodo di soluzione che eviti di introdurre radici quadrate.
$sin frac alpha 2=sqrt((1-cos alpha)/2)$
e l'analoga col coseno. No: la formula vera è
$sin^2 frac alpha 2=(1-cos alpha)/2 hArr sin frac alpha 2=+-sqrt((1-cos alpha)/2)$
ed occorre ragionare per scegliere il segno. Per evitare questo tipo di guai, è bene assumere come regola il cercare sempre un metodo di soluzione che eviti di introdurre radici quadrate.
Ciao grazie mille a tutti per le risposte e per il confronto costruttivo, effettivamente la strada scelta in partenza era piuttosto tortuosa ,me ne rendo conto ora, ma non conoscendo perfettamente le regole ho pensato di risolverla in maniera più "algebrica"
"SirDanielFortesque":
Di fatto non è bene utilizzare gli elevamenti al quadrato con troppa liberalità in quanto potresti introdurre soluzioni che nell'equazione iniziale non c'erano.
EDIT: ANZI l'errore è proprio concettuale. Tu mi metti un uguale e vai a risolvere un'equazione che prima non c'era. Ti sei inventato il testo dell'esercizio!
Ti chiedo solamente una precisazione : con il tuo metodo non riesco a capire come passi da $ 4 sin( alpha /2)cos (alpha /2) $ a $ 2sin (chi )cos (chi ) $ con $ chi = alpha /2 $
No scusa io questo passaggio non l'ho fatto.
$2*sin(x)*cos(x)=sin(2x)$
Questa è la formula di duplicazione del seno.
Nel tuo caso $x=\alpha/2$
Ed avevi davanti un quattro.
Per cui
$4*sin(\alpha/2)*cos(\alpha/2)=2*[2*sin(\alpha/2)*cos(\alpha/2)]=2*sin(2*\alpha/2)=2*sin(\alpha)$
EDIT: Correzione di una dizione sbagliata.
$2*sin(x)*cos(x)=sin(2x)$
Questa è la formula di duplicazione del seno.
Nel tuo caso $x=\alpha/2$
Ed avevi davanti un quattro.
Per cui
$4*sin(\alpha/2)*cos(\alpha/2)=2*[2*sin(\alpha/2)*cos(\alpha/2)]=2*sin(2*\alpha/2)=2*sin(\alpha)$
EDIT: Correzione di una dizione sbagliata.
"SirDanielFortesque":
$2*sin(x)*cos(x)=sin(2x)$
Questa è la formula di bisezione.
In realtà questa è la formula di duplicazione del seno; meglio precisarlo, anche se non è importante.
"SirDanielFortesque":
No scusa io questo passaggio non l'ho fatto.
$2*sin(x)*cos(x)=sin(2x)$
Questa è la formula di duplicazione del seno.
Nel tuo caso $x=\alpha/2$
Ed avevi davanti un quattro.
Per cui
$4*sin(\alpha/2)*cos(\alpha/2)=2*[2*sin(\alpha/2)*cos(\alpha/2)]=2*sin(2*\alpha/2)=2*sin(\alpha)$
EDIT: Correzione di una dizione sbagliata.
Grazie mille! Finalmente ho capito!
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